2020学年高一数学下学期第二次（5月）月考试题

2020学年高一数学下学期第二次（5月）月考试题

‎2019学年下学期第二次月考 高一数学试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知 则下列说法正确的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则　( )‎ A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 ‎3.若则的最小值是( )‎ ‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎4．在△ABC中，内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．正三棱柱有一个半径为 cm的内切球，则此棱柱的体积是(　　)‎ A．9 cm3 　　　B．54 cm3　　　　　C．27 cm3 D．18 cm3‎ ‎6．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中(　　)‎ A．AB∥CD B．AB∥EF C．CD∥GH D．AB∥GH ‎7. 在正方体 EFGH-E1F1G1H1 中，下列四对截面彼此平行的一对是( ) ‎ A．平面 FHG1 与平面 F1H1G B．平面 E1FG1 与平面 EGH1‎ C．平面 F1H1H 与平面 FHE1 D．平面 E1HG1 与平面 EH1G - 8 -‎ ‎8．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9..点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为(　 )‎ A．90° B．45° C．30° D．60°‎ ‎10．已知点满足条件（为常数），若的最大值为8，则的值 （ ）‎ ‎ A． B．6 C．8 D．不确定 ‎11．已知，，， ，，则下列不等式成立的是(　 )‎ ‎ A. B． C． D． ‎ ‎12．设数列满足，且，若表示不超过的最大整数（如［1.9］=1），则 ( )‎ A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2019‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知数列是等差数列，其公差为1，且是与的等比中项，是的前 项的和，则=__________.‎ ‎14．已知：，且，则的最小值为 .‎ ‎15. 已知一个正四面体的棱长为2，则它的外接球的体积是 .‎ - 8 -‎ ‎16. 下列命题正确的有________． ‎ ‎①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；‎ ‎③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；‎ ‎④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；‎ ‎⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；‎ ‎⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128，若bn＝log2an，数列{bn}前n项的和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝35，求n的值；‎ ‎(2)求不等式Sn＜2bn的解集. ‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 设△ABC的内角为A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC＝a－c.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝1，求△ABC的周长l的最大值．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ S B A C D 已知四棱锥S-ABCD直观图及其主视图、侧视图如图所示：‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎(1)、画出俯视图，并求该四棱锥的表面积；‎ ‎(2)、若E、F分别是AB、SC的中点，求证：EF∥面SAD - 8 -‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数y＝的定义域为R.‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.‎ ‎21．(本题满分12分) ‎ 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝ ‎(1)求sin∠ADB;‎ ‎(2)若∠BDC＝，求四边形ABCD的面积 ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.‎ ‎(1)求证：{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎(3)若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围. ‎ ‎2019学年下学期第二次月考质量检测 高一数学试题答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C C B C A A D A D A - 8 -‎ ‎13．54 14. 16 15. 4根号13 16. ①⑤‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128，若bn＝log2an，数列{bn}前n项的和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝35，求n的值；‎ ‎(2)求不等式Sn＜2bn的解集. ‎ ‎【解】　(1)由a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝128得q3＝64，‎ ‎∴q＝4，a1＝，∴an＝a1qn－1＝·4n－1＝22n－3，‎ ‎∴bn＝log2an＝log222n－3＝2n－3.‎ ‎∵bn＋1－bn＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)＝2，‎ ‎∴{b1}是以b1＝－1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴Sn＝＝35，n2－2n－35＝0，‎ ‎(n－7)(n＋5)＝0，即n＝7.‎ ‎(2)∵Sn－2bn＝n2－2n－2(2n－3)＝n2－6n＋6＜0，‎ ‎∴3－＜n＜3＋，又∵n∈N＋，‎ ‎∴n＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．‎ ‎18．(本题满分12分)设△ABC的内角为A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC＝a－c.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝1，求△ABC的周长l的最大值．‎ ‎[解析]　解法一：(1)∵bcosc＝a－c，∴由余弦定理，得b·＝a－c，‎ ‎∴a2＋b2－c2＝2a2－ac，‎ ‎∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，‎ ‎∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ ‎(2)l＝a＋b＋c＝a＋c＋1，由(1)知a2＋c2－1＝ac，‎ ‎∴(a＋c)2－1＝3ac，‎ ‎∴(a＋c)2＝1＋3ac≤1＋(a＋c)2，‎ ‎∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2. 故△ABC的周长l的最大值为3.‎ 解法二：(1)∵bcosC＝a－c，∴由正弦定理，得sinBcosC＝sinA－sinC，‎ ‎∴sinBcosC＝sin(B＋C)－sinC＝sinBcosC＋cosBsinC－sinC，‎ - 8 -‎ ‎∴cosBsinC＝sinC，‎ ‎∵sinC≠0，∴ocsB＝.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，∴A＋C＝.‎ 由正弦定理，得＝，∴a＝＝sinA，同理可得c＝sinC，‎ ‎∴a＋c＝(sinA＋sinC)＝[sinA＋sin(－A)]＝(sinA＋sincosA－cossinA)‎ ‎＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．‎ ‎∵0a，即0≤a<时，a

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