江西省上饶中学2019-2020学年高一上学期月考数学（实验重点艺术班）试题

江西省上饶中学2019-2020学年高一上学期月考数学（实验重点艺术班）试题

www.ks5u.com 上饶中学2019-2020学年高一上学期第二次月考 数学试卷（实验、重点、艺术班）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，进而求补集即可.‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式，分式以及对数的定义域法则即可求解.‎ ‎【详解】 ,解得：或 ‎ 则定义域为 故选D ‎【点睛】本题主要考查了定义域的求法，属于基础题.‎ ‎3.在下列幂函数中：, , , , , ，在上是增函数的个数为（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当幂函数的指数时，幂函数在上递增，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】由于当幂函数的指数时，幂函数在上递增，故，, , 等四个幂函数符合题意，共有个.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎4.已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. ，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法即可。‎ ‎【详解】异面可平行于同一平面，故A、D错。平面可能相交，故B错。故选C。‎ ‎【点睛】本题考查直线与直线平行，直线与平面平行的性质定理，属于基础题。‎ ‎5.在下列区间中函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以函数零点在区间，故选A．‎ ‎6.若，则(　　)‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数运算公式，求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c（ ）‎ A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目已知，画出可能存在的情况，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】由于，异面，此时，和可能相交，也即共面，如图所示与相交；和也可能异面，如图所示与异面.综上所述，与不可能是平行直线.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数是奇函数，再利用奇函数的性质求值.‎ ‎【详解】对于函数，，即是奇函数，‎ 所以，则.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的判断与应用，是一道基础题.‎ ‎9.若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为分段函数，结合增函数性质可知，每一段函数图像都应是增函数，再结合临界点处取值建立不等关系求解即可 ‎【详解】由题知，增函数，则，即；‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查根据增函数性质求解参数范围，属于基础题 ‎10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（　　）‎ A. 4 B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据题意中所给出的三视图绘出原图，然后根据三视图中的各边长即可得出原图中最长的棱的长。‎ ‎【详解】如图，结合题中的三视图可知，几何体的形状如图所示：‎ 再结合题意中三视图的各边长可知，最长的棱的长为，‎ 故选D。‎ ‎【点睛】本题考查三视图的相关性质，能否根据三视图绘出原图是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生的空间想象能力，是中档题。‎ ‎11.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域， 得出的单调区间，再根据复合函数的单调性，即可求得．‎ ‎【详解】由x2﹣x﹣1≥0，得或，‎ 函数在（﹣∞，]上为减函数，在上为增函数，而函数y＝在上是减函数，∴函数f（x）＝的单调递增区间为（﹣∞，]．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一是要注意先确定函数的定义域，二是要由内层函数和外层函数单调性之间的关系来判断复合函数的单调性，判断的依据是“同增异减”．‎ ‎12.如图，已知正方体，、分别是、的中点，则至少过正方体个顶点的截面中与平行的截面个数为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵、分别是，的中点，∴，则至少过正方体个顶点的截面中与平行的平面有平面，平面，平面,平面，平面共个，故选．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13.函数的图像一定经过定点为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点的坐标．‎ ‎【详解】令2x3＝1，求得x＝2，y＝3，故函数y＝3+loga（2x3）的图象必经过的定点坐标为（2，3），‎ 故答案为（2，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．‎ ‎14.在正方体中，异面直线与所成的角等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 连接。因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角。可得为等边三角形，则，所以异面直线和所成角为 ‎15.给出下列命题：‎ ‎①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，真命题是________．(填序号)‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；‎ 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；‎ 根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；‎ 根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，‎ 故真命题有①、③、④三个.‎ ‎16.设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设函数，把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象，即可求解.‎ 详解】由题意，设函数，令，即，‎ 所以问题转化为，有3个交点；‎ 在坐标系内，作出函数的图像如下所示，‎ 结合图象可知，，故实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，以及函数图象的应用问题，其中解答中把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，或．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把等于带入集合中求交集即可。‎ ‎（2）由，可知包含数轴上所有的实数，画出数轴分析即可。‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 解得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合之间运算，需要掌握集合的交集、并集、补集之间的运算，属于基础题。‎ ‎18.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.‎ 求证：（1）四点共面；‎ ‎（2）三线共点.‎ ‎【答案】（1）见证明 （2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，结合平面几何知识可证得，于是可得结论成立．（2）由题意可得直线与必相交，设交点为，然后再证明点在平面与平面的交线上，进而得到结论成立．‎ ‎【详解】证明：（1）连接.‎ ‎∵分别是和的中点，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴四边形平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴与确定一个平面，‎ ‎∴四点共面．‎ ‎（2）由（1）知，，且，‎ ‎∴直线与必相交，设.‎ ‎∵平面，，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，，‎ ‎∴平面，即是平面与平面的公共点，‎ 又平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴三线共点．‎ ‎【点睛】（1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内．‎ ‎（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此可得点共线．‎ ‎19.如图，在正方体中，，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；‎ ‎（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可；‎ ‎【详解】（1）连接，∵是正方体，，，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，.‎ ‎∴是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面； ‎ ‎（2）由（1）得，∵是正方体.‎ ‎∴平面，∴，∴，‎ ‎∵是正方体，∴是正方体，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题 ‎20.2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其总成本为 ‎，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入万元满足 ‎（1）将利润表示为产量万台的函数；‎ ‎（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】(1) (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得总成本函数，然后用求得利润的函数表达式.‎ ‎（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.‎ ‎【详解】（1）由题意得.‎ 因为 所以 ‎（2）由（1）可得，当时，.‎ 所以当时，（万元）‎ 当时，，单调递增，‎ 所以（万元）.‎ 综上，当时，（万元）.‎ 所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式中的的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求定义域时,注意对数的真数为正数；(2)对底数分情况讨论,利用单调性求解不等式.‎ ‎【详解】（1）要使函数有意义，需，解得，故函数的定义域为；‎ ‎（2）∵不等式，即，‎ ‎∴当时，有，解得 ‎ 当时，有，解得，‎ 综上可得，当时，不等式中的取值范围为；‎ 当时，不等式中的取值范围为 ‎22.已知二次函数，满足，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）（2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过,求出,利用,可得出函数的对称轴为,即可求,‎ 进而得到函数的解析式;‎ ‎（2）求出函数的对称轴,然后求解,列出关系式,即可求解实数的取值范围;‎ ‎（3）将代入得,若的两个零点分别在区间和内,利用零点存在定理列出不等式组求解,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1） ,得 ‎ 根据的对称轴为 ‎ ‎ 可得的对称轴为 ‎ 是二次函数 根据二次函数对称轴为 故 得 ‎ 解析式为: .‎ ‎（2） ‎ ‎ 对称轴为 ‎ ‎ ‎ ‎ 关于 的不等式在有解,‎ 则 ‎ 所以实数的取值范围是:.‎ ‎（3） ‎ 将代入,得 要保证的两个零点分别在区间和内则保证:‎ ‎ 化简可得: 解得:‎ 所以实数的取值范围为:‎ ‎【点睛】本题求解中能够通过求出函数对称轴为可以简化计算.掌握零点存在定理:如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,当,那么函数在区间内有零点,是求范围的关键.‎ ‎ ‎