2020高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5

2020高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5

第一课　解三角形 ‎[核心速填]‎ ‎1．正弦定理 ‎(1)公式表达：＝＝＝2R.‎ ‎(2)公式变形：‎ ‎①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎②sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎④＝＝＝＝2R.‎ ‎2．余弦定理 ‎(1)公式表达：‎ a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.‎ ‎(2)推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎3．三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．‎ ‎[体系构建]‎ - 9 -‎ ‎[题型探究]‎ 利用正、余弦定理解三角形 ‎　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小. ‎ ‎【导学号：91432090】‎ ‎[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故08，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为‎3.9 km.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为‎3.9 km.‎ ‎[规律方法]　正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．如图13，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方‎20 km和‎54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是‎1.5 km/s.‎ - 9 -‎ 图13‎ ‎(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到‎0.01 km). ‎ ‎【导学号：91432092】‎ ‎[解]　(1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，‎ PC－PB＝1.5×20＝30(km)．‎ ‎∴PB＝x－12，PC＝18＋x.‎ 在△PAB中，AB＝‎20 km，‎ cos∠PAB＝＝＝.‎ 同理cos∠PAC＝.‎ ‎∵cos∠PAB＝cos∠PAC，‎ ‎∴＝，解得x＝.‎ ‎(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．‎ 所以静止目标P到海防警戒线a的距离为‎17.71 km.‎ 与三角形有关的综合问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．如图14所示，向量与的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系？‎ 图14‎ - 9 -‎ 提示：向量与的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，‎ 由于·＝||·||cos A＝bccos A.‎ 所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．‎ ‎2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？‎ 提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．‎ ‎　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值. ‎ ‎【导学号：91432093】‎ 思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．‎ ‎(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．‎ ‎[解]　(1)由·＝2得cacos B＝2.‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.‎ 解得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，‎ sin B＝＝＝，‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ - 9 -‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C ‎＝×＋×＝.‎ 母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝‎3”‎变为“已知S△ABC＝30且cos A＝”求·的值．‎ ‎[解]　在△ABC中，cos A＝，‎ ‎∴A为锐角且sin A＝，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.‎ ‎∴bc＝156.‎ ‎∴·＝||·||cos A ‎＝bccos A＝156×＝144.‎ ‎2．(变条件，变结论)在“母题探究‎1”‎中再加上条件“c－b＝‎1”‎能否求a的值？‎ ‎[解]　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.‎ ‎[规律方法]　正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.‎ ‎(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.‎ ‎(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.‎ - 9 -‎