数学卷·2019届江苏省无锡市普通高中高二上学期期末考试(2018-01)

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数学卷·2019届江苏省无锡市普通高中高二上学期期末考试(2018-01)

‎ 江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试高二数 学试卷 ‎ ‎ 注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟, 全卷满分为160分.‎ 命题单位:滨湖区教研发展中心 审核:无锡市教育科学研究院 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)‎ ‎1.直线的倾斜角的大小为 ▲ .‎ ‎2.(文)命题“对任意的”的否定是 ▲ .‎ ‎(理)设,,且//,则实数 ‎ ▲ .‎ ‎3.如图,已知正方体的棱长为a,则异面 ‎ 直线与所成的角为 ▲ .‎ ‎4.以为准线的抛物线的标准方程是 ▲ .‎ ‎5. 已知命题: 多面体为正三棱锥,命题:多面体为正四面体,则命题是命题的 ▲ 条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”之一)‎ ‎6.若一个正六棱柱的底面边长为,侧面对角线的长为,则它的体积为 ▲ .‎ ‎7. 函数的单调递减区间为 ▲ .‎ ‎8.若双曲线的焦距为8,点在其渐近线上,则C的方程为 ▲ .‎ ‎9.如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3,那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ▲ . ‎ ‎10.已知点在抛物线上运动,为抛物线的焦点,点的坐标为,则 的最小值是 ▲ . ‎ ‎11. 椭圆具有如下的光学性质:从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦 点.现从椭圆的左焦点发出的一条光线,经过椭圆内壁两次反射后,回到点 ‎,则光线所经过的总路程为 ▲ . ‎ ‎12. 已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:‎ ‎ ① 若,则; ‎ ‎② 若,则;‎ ‎③ 若,则; ‎ ‎④ 若,,,,则. ‎ 其中所有正确命题的序号是 ▲ .‎ ‎13.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,若,则点的坐标为 ▲ . ‎ ‎14.在平面直角坐标系中,已知是函数图象上的动点,该图象在点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点,设线段的中点的横坐标为,则的最大值是 ▲ .‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 设直线,,.‎ ‎(1)若直线,,交于同一点,求m的值;‎ ‎(2)设直线过点,若被直线,截得的线段恰好被点M平分,求直线的方程.‎ ‎16. (本题满分14分)‎ 如图,在四面体中,已知⊥平面,,,为的中点. ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若为的中点,点在直线上,且,‎ 求证:直线//平面.‎ ‎17.(本题满分14分)‎ ‎(文科班选做此题)已知,命题{|方程表示焦点在y轴上的椭圆},命题{|方程表示双曲线},若 命题“”为真,“”为假,求实数的取值范围.‎ ‎(理科班选做此题)如图,已知正方形和矩形 所在平面互相垂直,,.‎ ‎(1)求二面角的大小;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎18. (本题满分16分)‎ 已知圆C的圆心为,过定点,且与轴交于点B,D.‎ ‎(1)求证:弦长BD为定值;‎ ‎(2)设,t为整数,若点C到直线的距离为,求圆C的方程.‎ ‎19.(本题满分16分)‎ 已知函数(a为实数).‎ ‎(1) 若函数在处的切线与直线平行,求实数a的值;‎ ‎(2) 若,求函数在区间上的值域;‎ ‎(3) 若函数在区间上是增函数,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎20.(本题满分16分) ‎ 设动点是圆上任意一点,过作轴的垂线,垂足为,若点在线段上,且满足.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设直线与交于,两点,点坐标为,若直线,的斜率之和为定值3,求证:直线必经过定点,并求出该定点的坐标.‎ 无锡市2017年秋学期期末考试参考答案及评分标准 2017.12‎ 高二数学 一、填空题 (每空5分,共70分)‎ ‎1. 30° 2. (文)(理)8 3. 60° 4. ‎ ‎5. 必要不充分 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 7 11.12 12. ②③ 13. 14. ‎ 二、解答题(共90分)‎ ‎15. 解:(1)解,得交点. …………………………………3分 ‎ 直线交于同一点,则点C在直线上, ‎ 则 解得.…………………………………………………6分 ‎ (2)设上一点A(a,12 a),则点A关于M(2,0)的对称点B (4a,2 a1) .‎ ‎ ………………………………………………………………………………………8分 由点B在上,代入得,∴a=,∴.………11分 直线l过两点A、M,斜率为11,∴ 直线l的方程为. ………14分 ‎16. 证明:(1) ∵PA=AC,D为PC的中点,∴AD⊥PC. …… ………………………1分 ‎∵ PA⊥平面ABC,BC平面ABC, ∴ PA⊥BC. ‎ ‎∵ ∠ACB=90°,BC ⊥AC,且PAAC =A, 平面 ‎∴ BC⊥平面PAC. ……………………………………………………………………3分 ‎∵ AD平面PAC, ∴ BC ⊥AD.……………………………………………………4分 且平面,‎ ‎∴AD⊥平面PBC . ………………………………… …………………………………6分 ‎∵ BD平面PBC,∴AD⊥BD . ……………………………………………………7分 ‎(2) 连接DM,设BD与CM交于点G,连接N G,‎ ‎∵ D、M为中点,∴DM //BC且,………………………………………9分 ‎∴ DG:GB=DM:BC=1:2.‎ ‎∵ AN:NB=1:2,∴AN:NB= DG:GB .………………………………………………11分 ‎∴ △BNG∽△BAD,∴AD//NG,‎ ‎∵平面CMN,平面CMN,‎ ‎∴ 直线AD//平面CMN. …………………………………………………………14分 ‎17. (文科)解:命题p:,; …………………………2分 ‎ 命题q:()()<0, ,………………………………………4分 ‎ 命题p且q: . ………………………………………………………………6分 ‎ 由命题“”为真,“”为假,则p、q一个为真命题,一个为假命题,……8分 ‎ 则或………………………………………………12分 ‎ 解得或.‎ ‎ 所以实数m的取值范围是. ………………………………………14分 ‎17. (理科)解:正方形和矩形所在平面互相垂直,‎ 分别以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,0),B(,0,0), C(,,0), D(0,,0),‎ E(, ,1),F(0,0,1).…………………………………………………1分 ‎(1)设平面CDE的法向量为平面BDE的法向量, ………2分 ‎ 由 解得. ………………………………………………4分 ‎ ∴ ,………………………………………………………6分 ‎ ∴ 二面角 B—DE—C等于60°. ……………………………………………………7分 ‎(2) …………………………………………………8分 ‎, …………………………………………10分 ‎ .设点到平面BDF的距离为h,则 ……………12分 ‎ ∴ .所以点F到平面BDE的距离为. ……………………14分 ‎18. 解:(1)圆C的方程:, ………………………3分 ‎ 令y=0,得,故,,.…………………6分 ‎ 弦长M N==2 a为定值.……………………………………………………7分 ‎(2)∵点C到直线的距离为,………………9分 ‎ ∴ =,解得, t=2或t=4.……………………………13分 ‎ 由为整数,∴ t=2或t=4. …………………………………………………14分 ‎ ∴ 圆C的方程为和. ………16分 ‎19. 解:(1),‎ ‎,解得. ……………………………………4分 ‎(2)时,,‎ ‎,令,解得或,………………………………6分 ‎2‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 减函数 极小值 增函数 ‎………………………8分 又,,,所以在上的值域为.……10分 ‎(3),由在区间上是增函数,‎ 则对于1≤≤3恒成立,所以.…………12分 因,故,记,则,……………………14分 而函数在上为减函数,则,所以4.‎ 所以的取值范围是. ………………………………………………………16分 ‎20. 解:(1)设点P、M的坐标分别为 (x,y)、 (x0,y0),由,得 ‎ ∴ ……………………………………………………………………3分 由点M在圆上,故,代入得.…………5分 ‎ ∴ 点P的轨迹C的方程为 . ………………………………………6分 ‎(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为:,‎ 设A,B两点的坐标分别为 (x0,y0)、(x0,y0),‎ 由题意,得,解得,‎ 所以直线l的方程为:.……………………………………………………8分 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,与C联立,‎ ‎ 消元得. ‎ ‎ 设A,B两点的坐标分别为 (x1,y1)、 (x2,y2),‎ 则,(). ……………………………………10分 由题意,得.‎ ‎ 将y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式,可得, ‎ ‎ 所以.() ……………………………………………12分 ‎ 将()代入(),化简得,解得,‎ ‎ 代入直线l方程,得. ……………………14分 ‎ 不论b怎么变化,当=0即x=时,. …… ………………… 15分 综上所述,直线l恒过定点. ………………………………………… 16分
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