高中数学选修2-2教学课件第三章 习题课

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习题 课 　 导数的应用 第三章　导数应用 明目标 知重点 忆要点 固基础 探题型 提能力 内容 索引 01 02 03 04 当堂测 查疑缺 会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值 ( 多项式次数不超过三次 ). 明目标 、知重点 忆要点 · 固基础 1. 若函数 y ＝ x 2 － 2 bx ＋ 6 在 (2,8) 内是增函数，则 ( 　　 ) A. b ≤ 2 B. b <2 C. b ≥ 2 D. b >2 A B 3. 设函数 g ( x ) ＝ x ( x 2 － 1) ，则 g ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 ( 　　 ) 解析　 g ( x ) ＝ x 3 － x ，由 g ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 1 ＝ 0 ， 当 x 变化时， g ′ ( x ) 与 g ( x ) 的变化情况如下表： 答案　 C 4. 设函数 f ( x ) 在定义域内可导， y ＝ f ( x ) 的图像如图所示，则导函数 y ＝ f ′ ( x ) 的图像可能为 ( 　　 ) 解析　 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像 . 答案　 D 5. 若 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内存在导数，则 “ f ′ ( x )<0 ” 是 “ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递减 ” 的 ____________ 条件 . 解析　 对于导数存在的函数 f ( x ) ， 若 f ′ ( x )<0 ， 则 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内单调递减，反过来，函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递减，不一定恒有 f ′ ( x )<0 ， 如 f ( x ) ＝－ x 3 在 R 上是单调递减的，但 f ′ ( x ) ≤ 0 . 充分不必要 探题型 · 提能力 题型一　函数与其导函数之间的关系 例 1 　 对正整数 n ，设曲线 y ＝ x n (1 － x ) 在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数列 { } 的前 n 项和的公式是 ________. 解析　 由 k ＝ y ′ | x ＝ 2 ＝－ 2 n － 1 ( n ＋ 2) ， 得切线方程为 y ＋ 2 n ＝－ 2 n － 1 ( n ＋ 2)( x － 2) ， 令 x ＝ 0 ，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y 0 ＝ ( n ＋ 1)2 n ， 答案 　 2 n ＋ 1 － 2 反思与感悟　 找切点，求斜率是求切线方程的关键 . 跟踪训练 1 　如图，曲线 y ＝ f ( x ) 上任一点 P 的切线 PQ 交 x 轴于 Q ，过 P 作 PT 垂直于 x 轴于 T ，若 △ PTQ 的面积 为 ， 则 y 与 y ′ 的关系满足 ( 　　 ) A. y ＝ y ′ B. y ＝－ y ′ C. y ＝ y ′ 2 D. y 2 ＝ y ′ 答案　 D 题型二　利用导数研究函数的单调性、极值、最值 例 2 　 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ 48( a － 2) x ＋ b 的图像关于原点成中心对称 . (1) 求 a ， b 的值 ； 解　 ∵ 函数 f ( x ) 的图像关于原点成中心对称， 则 f ( x ) 是奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 得－ ax 3 ＋ ( a － 1) x 2 － 48( a － 2) x ＋ b ＝－ ax 3 － ( a － 1) x 2 － 48( a － 2) x － b ， 于是 2( a － 1) x 2 ＋ 2 b ＝ 0 恒成立， (2) 求 f ( x ) 的单调区间及极值 ； 解　 由 (1) 得 f ( x ) ＝ x 3 － 48 x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 48 ＝ 3( x ＋ 4)( x － 4) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝－ 4 ， x 2 ＝ 4 ，令 f ′ ( x )<0 ， 得－ 4< x <4 ，令 f ′ ( x )>0 ，得 x < － 4 或 x >4. ∴ f ( x ) 的递减区间为 ( － 4,4) ，递增区间为 ( － ∞ ，－ 4) 和 (4 ，＋ ∞ ) ， ∴ f ( x ) 极大值 ＝ f ( － 4) ＝ 128 ， f ( x ) 极小值 ＝ f (4) ＝－ 128 . (3) 当 x ∈ [1,5] 时，求函数的最值 . 解　 由 (2) 知，函数在 [1,4] 上单调递减 ， 在 [4,5] 上单调递增 ， 对 f (4) ＝－ 128 ， f (1) ＝－ 47 ， f (5) ＝－ 115 ， 所以 函数的最大值为－ 47 ，最小值为－ 128 . 反思与感悟　 (1) 讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解 f ′ ( x )>0 得增区间，解 f ′ ( x )<0 得减区间 . (2) 求极值时一般需确定 f ′ ( x ) ＝ 0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点 . (3) 求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得 . 跟踪训练 2 　已知函数 y ＝ ax 3 ＋ bx 2 ，当 x ＝ 1 时，有极大值 3. (1) 求 a ， b 的值 ； 解　 y ′ ＝ 3 ax 2 ＋ 2 bx ， 当 x ＝ 1 时， y ′ | x ＝ 1 ＝ 3 a ＋ 2 b ＝ 0 ， y | x ＝ 1 ＝ a ＋ b ＝ 3 ， (2) 求函数的极小值 ； 解　 y ＝－ 6 x 3 ＋ 9 x 2 ， y ′ ＝－ 18 x 2 ＋ 18 x ， 令 y ′ ＝ 0 ，得 x ＝ 0 ，或 x ＝ 1 ， ∴ y 极小值 ＝ y | x ＝ 0 ＝ 0 . (3) 求函数在 [ － 1,1] 的最值 . 解　 由 (1) 知，函数 y ＝ f ( x ) ＝－ 6 x 3 ＋ 9 x 2 ， 又 f ( － 1) ＝ 15 ， f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 3 ， 所以 函数的最大值为 15 ，最小值为 0. 题型三　导数的综合应用 例 3 　 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － ax － 1. (1) 若 f ( x ) 在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围 ； 解　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数，所以 f ′ ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 3 x 2 － a ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 a ≤ 3 x 2 ，而 3 x 2 ≥ 0 ，所以 a ≤ 0 . 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ x 3 － 1 在 R 上单调递增，符合题意 . 所以 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. (2) 是否存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 . 解　 假设 存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减， 则 f ′ ( x ) ≤ 0 在 ( － 1,1) 上恒成立 . 即 3 x 2 － a ≤ 0 在 ( － 1,1) 上恒成立，即 a ≥ 3 x 2 ， 又因为在 ( － 1,1) 上， 0 ≤ 3 x 2 <3 ，所以 a ≥ 3 . 当 a ＝ 3 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ，在 ( － 1,1) 上， f ′ ( x )<0 ， 所以 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减，即 a ＝ 3 符合题意， 所以存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减，且 a 的取值范围是 [3 ，＋ ∞ ). 反思与感悟　 在已知函数 f ( x ) 是增函数 ( 或减函数 ) 求参数的取值范围时，应令 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，解出参数的取值范围 ( 一般可用不等式恒成立来求解 ) ，然后检验参数的取值能否使 f ′ ( x ) 恒等于 0 ，若不能恒等于 0 ，则参数的这个值应舍去；若 f ′ ( x ) 能恒等于 0 ，则由 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立解出的参数的取值范围来确定 . 跟踪训练 3 　 (1) 若函数 f ( x ) ＝ 4 x 3 － ax ＋ 3 的单调递减区间 是 ， 则实数 a 的值是多少？ 解　 f ′ ( x ) ＝ 12 x 2 － a ， ∴ a ＝ 3. (2) 若函数 f ( x ) ＝ 4 x 3 － ax ＋ 3 在 上 是单调函数，则实数 a 的取值范围为多少？ ∴ a ≤ (12 x 2 ) min ＝ 0. 当 a ＝ 0 时， f ′ ( x ) ＝ 12 x 2 ≥ 0 恒成立 ( 只有 x ＝ 0 时 f ′ ( x ) ＝ 0). ∴ a ＝ 0 符合题意 . ∴ a ≥ (12 x 2 ) max ＝ 3. 当 a ＝ 3 时， f ′ ( x ) ＝ 12 x 2 － 3 ＝ 3(4 x 2 － 1) ≤ 0 恒成立 ( 且只有 x ＝ ± 时 f ′ ( x ) ＝ 0). 因此， a 的取值范围为 a ≤ 0 或 a ≥ 3. 1. 若函数 y ＝ x 3 ＋ x 2 ＋ mx ＋ 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是 ( 　　 ) 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 解析　 若函数 y ＝ x 3 ＋ x 2 ＋ mx ＋ 1 是 R 上的单调函数，只需 y ′ ＝ 3 x 2 ＋ 2 x ＋ m ≥ 0 恒成立，即 Δ ＝ 4 － 12 m ≤ 0 ， 答案　 C 1 2 3 4 2. 设 f ′ ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，将 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ f ′ ( x ) 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( 　　 ) 1 2 3 4 解析　 若函数在给定区间上是增函数 ， 则 y ＝ f ′ ( x ) ≥ 0 ， 若 函数在给定区间上是减函数 ， 则 y ＝ f ′ ( x ) ≤ 0. 答案　 D 1 2 3 4 3. 设 f ( x ) 、 g ( x ) 是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数，且 f ′ ( x ) g ( x ) － f ( x ) g ′ ( x )<0 ，则当 a < x < b 时有 ( 　　 ) A. f ( x ) g ( x )> f ( b ) g ( b ) B. f ( x ) g ( a )> f ( a ) g ( x ) C. f ( x ) g ( b )> f ( b ) g ( x ) D. f ( x ) g ( x )> f ( a ) g ( a ) 1 2 3 4 ∴ f ( x ) g ( b )> f ( b ) g ( x ). 答案　 C 1 2 3 4 4. 函数 f ( x ) ＝ x 3 － x 2 － 2 x ＋ 5 ，若对于任意 x ∈ [ － 1,2] ，都有 f ( x )< m ，则实数 m 的取值范围是 ____ _ _____. 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － x － 2 ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 可判断求得 f ( x ) max ＝ f (2) ＝ 7. ∴ f ( x )< m 恒成立时， m >7. (7 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 呈重点、现规律 导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决 . 不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看