【推荐】2017年10月15日 每周一测-试题君之每日一题君2017-2018学年高二数学人教版x

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‎10月15日每周一测 高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆‎ ‎ ‎ 学霸推荐 ‎1．已知，且，则的最小值为 A．4 B．‎ C． D．5‎ ‎2．（2017山东理）若，且，则下列不等式成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．若变量，满足则的最大值是 A． B．‎ C． D．12‎ ‎4．已知正实数，满足，则的最小值为 A． B．4‎ C． D．‎ ‎5．设实数满足，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．（2017天津理）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知，且，则的最小值是________________．‎ ‎9．若实数a，b满足，则的最小值为________________．‎ ‎10．设，则函数的最大值为________________．‎ ‎11．（2017山东文）若直线过点（1，2），则的最小值为________________．‎ ‎12．已知正实数，满足：，则的最大值是________________．‎ ‎13．已知，证明：．‎ ‎14．已知正数满足，求的最小值有如下解法：‎ ‎∵且，∴，‎ ‎∴．‎ 判断以上解法是否正确，并说明理由．若不正确，请给出正确解法．‎ ‎15．求函数的最小值．‎ ‎16．已知是正实数，且，‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎17．为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本(单位：万元)与处理量(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．‎ ‎（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？‎ ‎（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？‎ ‎1．【答案】C ‎2．【答案】B ‎【解析】∵，且，∴‎ ‎，故选B．‎ ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，如图所示，联立，解得，‎ 所以的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值，故选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】因为已知正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号，解得，即，再由，所以，‎ 把当作自变量，则在上是减函数，‎ 所以当时，取得最小值为，故选D．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了基本不等式．基本不等式求最值应注意的问题：（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可；（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】作出不等式组表示的区域如图所示，从图可看出，表示过点，的直线的斜率，其最大值为，最小值为，故选D．‎ ‎6．【答案】A ‎7．【答案】A ‎【解析】不等式可化为 (*)，‎ 当时，(*)式即，即，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），所以，‎ 当时，(*)式为，．‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），所以．‎ 综上，．故选A．‎ ‎【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴，故答案为．‎ ‎9．【答案】‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，，‎ 当且仅当即时等号成立，故函数的最大值为．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】由直线过点（1，2）可得，‎ 所以．‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ ‎【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提条件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．‎ ‎12．【答案】‎ ‎13．【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】因为 所以，当且仅当时，等号成立．‎ ‎14．【答案】解法错误，正确解法见解析．‎ ‎【解析】题中解法错误．理由如下：‎ ‎∵，当且仅当时取到等号，‎ ‎，当且仅当时取到等号，‎ 以上两个不等式不能同时取到等号，因此不成立．‎ 正确解法：，‎ 当且仅当，，即时，取到等号，‎ 故．‎ ‎15．【答案】．‎ ‎【名师点睛】（1）利用基本不等式求最值时，必修保证等号能取到才能求出最值，若题设条件中的限制条件或函数的定义域不能使等号成立，则要转换到另一种形式解答，如借助函数单调性等；（2）对于模型≥，当且仅当x＝时等号成立；（3）求函数y＝(a＞0，b＞0)在区间(0，c]上的最值时，由函数图象易得：若c≥‎ ‎，则当x＝时，y取得最小值；若c＜，则当x＝c时，y取得最小值ac＋．‎ ‎16．【答案】（1）1；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴（当且仅当且时等号成立）．‎ ‎∴．‎ ‎∴的最大值为1．‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎∴，‎ 当且仅当时等号成立，∴的最小值为．‎ ‎17．【答案】（1）工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．‎ ‎（2）由题易知，二氧化碳的平均处理成本，‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，取得最小值为，‎ 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．‎ ‎ ‎ ‎ ‎