2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．这天的的中位数是 B．天中超过天空气质量为“优良”‎ C．从月日到日，空气质量越来越好 D．这天的的平均值为 ‎4．已知平面向量，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某围棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎7．函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象 关于原点对称，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，‎ 则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．有如下命题：①函数与的图象恰有三个交点；②函数与的图象恰有一个交点；③函数与的图象恰有两个交点；④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数的图象关于点对称，，分别是的 极大值点与极小值点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在中，若，，，则_____．‎ ‎14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_____．‎ ‎15．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．‎ ‎16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）如图，在平面四边形中，，，，设．‎ ‎（1）若，求的长度；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．‎ ‎（1）求这名考生的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；‎ ‎（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？‎ ‎（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求．（精确到）‎ 附：①，；‎ ‎②，则，；‎ ‎③．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．‎ ‎（1）在上确定点，使平面，并说明理由；‎ ‎（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值．‎ ‎（1）求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，‎ 若，求原点到直线的距离的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，，使得，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，使得，求实数的取值范围．‎ ‎2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】（为虚数单位），∴，‎ ‎∴，解得，则．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】这天的指数值的中位数是，故A不正确；‎ 这天中，空气质量为“优良”的有，，，，，共天，故B不正确；‎ 从日到日，空气质量越来越好，故C正确；‎ 这天的指数值的平均值约为，故D不正确．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】，∵，∴，解得．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种，‎ 而选出的人中没有女队员的方法有种，‎ 结合古典概型计算公式可得：选出的人中有女队员的概率为．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】A．若，，则，相交或平行或异面，故A错；‎ B．若，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；‎ C．若，，则或，故C错；‎ D．若，，则或或，故D错．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】函数的图象向左平移个单位后，‎ 得到的图象，‎ 由于平移后的图象关于原点对称，故，‎ ‎∴，由，得．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，‎ 其中长方体的长宽高分别为，， ，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，‎ 据此可得，组合体的表面积．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】代，知函数过原点，故排除D，‎ 代入，得，排除C，‎ 代入，，排除A．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱、，‎ 底面是等腰，‎ 它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，‎ 求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，‎ 三棱柱中，底面，，，∴，‎ ‎∴的外接圆的半径为，‎ 由题意可得：球心到底面的距离为，‎ ‎∴球的半径为，外接球的表面积为．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】①设，则，即函数为减函数，‎ ‎∵，函数是奇函数，‎ ‎∴函数只有一个零点，即函数与的图象恰有一个交点，故①错误，‎ ‎②由①知当时，；当时，；‎ 当时，；当时，，‎ 故函数与的图象恰有一个交点，故②正确，‎ ‎③作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有两个交点，故③正确，‎ ‎④作出函数与的图象，由图象知两个函数有个交点，即函数与的图象恰有三个交点，故④正确．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】由题意可得，‎ 函数图象关于点对称，且，故，‎ 即，‎ 据此可得，解得，‎ 故函数的解析式为，‎ ‎，‎ 结合题意可知：，是方程的两个实数根，且，‎ 故．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得，解得或（舍去）．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】过点作于，则为的中点，‎ ‎∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由于，，，‎ 据此结合排列组合的性质可得项的系数为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】易知：当时，因为，所以，‎ 所以，所以，．‎ 当时，当，则，所以，‎ 所以，．‎ 当时，当，则，所以，‎ ‎，；‎ 当时，当，则，所以，‎ 所以，；‎ 当时，当，则，所以，‎ 所以，．‎ 由此类推：．‎ 故．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理可知，，．‎ ‎（2）由题意可知，，，‎ 在中，由正弦定理可知，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎18．【答案】（1）分；（2）约635人；（3）．‎ ‎【解析】（1）由题意知：‎ ‎∴，‎ ‎∴名考生的竞赛平均成绩为分．‎ ‎（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，‎ 而，‎ ‎∴．‎ ‎∴竞赛成绩超过分（含分）的人数估计为人人．‎ ‎（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率．‎ 而，∴．‎ ‎19．【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取中点，连结，，‎ 在中，取为中点，连接，则，‎ 延长与交于点，则即为所求点，‎ 为平行四边形，点，为中点，则，‎ 由线面平行的判定定理可得平面，‎ 同理可得，平面，‎ 又，，‎ 据此可得平面平面，故平面．‎ ‎（2）作平面，与延长线交于，‎ 则，，，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 作，则直线与平面所成角即直线与平面所成角，‎ ‎∵，∴．‎ 设到平面的距离为，则，∴，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵点在上运动，点在上运动，‎ ‎∴设，，‎ 线段的中点，则有，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵线段的长为定值，∴，‎ 即，化简得，‎ ‎∴线段的中点的轨迹方程为．‎ ‎（2）设，，联立，‎ 得，，‎ 化简得①，则，，‎ ‎，‎ 若，则，即，‎ 所以，‎ 即，化简得②，‎ 由①②得，，‎ 因为到直线的距离，所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以到直线的距离的取值范围是．‎ ‎21．【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），‎ 令，则，解得，∴，‎ 令，，‎ ‎∴时，函数取得极小值即最小值，∴，‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎（2）由（1）可得：函数在上单调递增．‎ 要证明：，‎ 又，因此，‎ 即，，则，‎ 令 ‎，‎ ‎，，，‎ 令，，‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎∴，∴函数在上单调递增．‎ ‎∴，因此结论成立．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为，‎ 则的极坐标方程为．‎ ‎（2）设，，‎ 将代入，得，‎ 所以，所以．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，或或，‎ 解得，所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）对任意恒成立，对实数有解．‎ ‎∵，‎ 根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即的最大值为，‎ 所以问题转化为，解得．‎