广东省梅州市2013届高三上学期第五次联考数学文试题

广东省梅州市2013届高三上学期第五次联考数学文试题

广东省梅州市2013届高三上学期第五次联考试题 数学（文）试题 本试卷满分150分，考试时间150分，考试用时120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ 参考公式：‎ ‎ 锥体的体积公式： （其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）‎ ‎ 球的表面积，体积公式： （R是半径）‎ 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。‎ ‎1．已知集合，集合则为 （ ）‎ ‎ A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}‎ ‎2．复数 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如右图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ ‎4．在△ABC中，则角C= （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．或 ‎5．“”是“函数有零点”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6．曲线在点处点的切线方程为 （ ）‎ ‎ A．2x+2y+1=0 B．2x+2y－1=‎0 ‎C．2x－2y－1=0 D．2x－2y－3=0‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 。 ‎ A．－5 B．－‎4 ‎C．－2 D．3‎ ‎8．已知向量·则是 （ ）‎ ‎ A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 ‎ ‎ C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 ‎9．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 。‎ ‎ A．24 B‎39 ‎C．52 D．104‎ ‎10．设集合，在S上定义运算其中为被4除的余数，‎ ‎=0，1，2，3，则使关系式成立的有序数（）的组数为（ ）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ 二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分）‎ ‎（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）‎ ‎11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共是 。 ‎ ‎12．如图所示的流程图中，输出的结果是 。‎ ‎13．已知向量，且∥，则 的值为 。‎ ‎（二）选做题（14～15题为选做题，考生只能选做其中一题，两道题都做的，只计第14题的分。）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线为参数）与曲线为参数，）有一个公共点在X轴上，则a=　　　　　　　　　　。‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图３，PAB、PCD为⊙0的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）已知函数的最大值是1，其图像经过点。‎ ‎ （1）求的解析式；‎ ‎ （2）已知且求的值 ‎17．（本小题满分13分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：‎ 节能意识弱 节能意识强 总计 ‎20至50岁 ‎45‎ ‎9‎ ‎54‎ 大于50岁 ‎10‎ ‎36‎ ‎46‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎ （1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？‎ ‎ （2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多 少人？‎ ‎ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 如图所示的长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，‎ ‎ ，M是线段B1D1的中点。‎ ‎ （1）求证：∥平面D‎1AC；‎ ‎ （2）求三棱锥D1－AB‎1C的体积。‎ ‎19．（本小题满分14分）已知等比数列的各项均为正数，且 ‎ （Ⅰ）求的通项公式； ‎ ‎ （Ⅱ）设，求数列的前n项和。‎ ‎20．（本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右项点D（2，0），设点。‎ ‎ （1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数 ‎ （Ⅰ）当a=1时，试求函数在区间[1，e]上的最大值；‎ ‎ （Ⅱ当时，试求函数的单调区向。‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．）‎ ‎1． C 2． A 3． D 4．B 5．C 6． C 7．B 8．A 9．C 10． A ‎ 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎11．60人 10．提示：满足条件的（i, j）为（0，0），（2，2），（2，0），（3，2）‎ ‎12． 120 13． 14． 15． 6‎ ‎14．【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；‎ 曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，‎ 由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知．‎ ‎15．【解析】由得又 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16、解：解：（1）依题意知 A=1　　　　………………………………１分 ‎ ， 又……………………３分 ‎ 即 　…………………………４分 ‎ 因此 　…………………………５分 ‎ （2） ， 且 ‎ ‎ ，　　…………………………９分 ‎ ‎ ‎17．解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分 ‎（2）年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）‎ ‎（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人）……7分，‎ 年龄大于50岁的4人……8分，‎ 记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4。从这5人中任取2人，共有10种不同取法：…9分 ‎（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），‎ ‎（B3，B4）， 完全正确列举………………10分，‎ 设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4） ………………11分，‎ 故所求概率为……13分 ‎18、解：（1）连结，如图，‎ ‎∵、分别是、的中点，是矩形，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴． --------2分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．-------------------5分 ‎（2）解法1 连结，∵正方形的边长为2，‎ ‎，∴，，，则，‎ ‎∴． --------------------------------------------------------7分 又∵在长方体中，，，且，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴，又， ‎ ‎∴平面，即为三棱锥的高． ----------9分 ‎∵，[‎ ‎∴． -----------------------------13分 ‎ 解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等． ----------8分 ‎ ．‎ ‎----------13分 ‎19、解：（Ⅰ）设数列{}的公比为q，由得 ，所以 ------2分 由条件可知>0，故 ----------4分 由，所以 ----------5分 故数列{}的通项式为 ----------6分 ‎（Ⅱ ）‎ ‎ ----------9分 故 ----------‎ ‎11分 ‎ ‎ 所以数列的前n项和为 ---------14分 ‎20、解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1． …………２分 ‎ 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为……………………4分 ‎（2）当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1． 　………………5分 当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx,代入,‎ 解得B（,）,C（－,－）,……………………7分[‎ 则, ……………………8分 又点A到直线BC的距离d=, …………………………9分 ‎∴△ABC的面积S△ABC=　　　　　……………………１0分 于是S△ABC=　　　　　 ‎ 由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立……………………１3分 ‎ ‎∴S△ABC的最大值是． 　　　　　　　　　　…………………………１４分 ‎21．解: （Ⅰ）函数的定义域为． ……………1分 当时, ，因为， 3分 所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值 ‎ ‎ ． ……………………5分 ‎（Ⅱ）． ………………6分 当时,因为，所以函数在区间上单调递减；…7分 当时，⑴当时，即时，，所以函数在区间 上单调递增； ………………9分 ‎⑵当时，即时，由解得， ‎ ‎，或． ……………10分 由解得； ………11分 所以当时，函数在区间上单调递增；在 上单调递减，单调递增． …13分 综上所述，当时,函数在区间上单调递减；‎ 当时，所以函数在区间 上单调递增； ‎ 当时， 在区间上单调递增；在 上单调递减，单调递增． …14分