2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
1.(2016江苏,1)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2
b,循环结束,输出a的值为9.
7.(2016江苏,7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
答案56
解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10 的基本事件共有30个,所以所求概率为3036=56.
(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则A表示“向上的点数之和不小于10”,A的基本事件共有6个,所以P(A)=636=16,P(A)=1-P(A)=56.
8.(2016江苏,8)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是 .
答案20
解析由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3⇒d=3,a9=2+3×6=20.
9.(2016江苏,9)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .
答案7
解析由sin 2x=cos x,可得cos x=0或sin x=12,因为x∈[0,3π],所以x可取的值为π2,3π2,5π2,π6,5π6,13π6,17π6,共7个.故交点个数为7.
10.
(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
答案63
解析由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因为∠BFC=90°,所以BF·CF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.
11.(2016江苏,11)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=x+a,-1≤x<0,25-x,0≤x<1,其中a∈R.若f-52=f92,则f(5a)的值是 .
答案-25
解析因为函数f(x)是周期为2的函数,所以f-52=f-12=-12+a,f92=f12=25-12=110.因为f-52=f92,所以-12+a=110,解得a=35,
因此f(5a)=f(3)=f(1)=f(-1)=-1+35=-25.
12.(2016江苏,12)已知实数x,y满足x-2y+4≥0,2x+y-2≥0,3x-y-3≤0,则x2+y2的取值范围是 .
答案45,13
解析画出约束条件对应的可行域 (如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值 ,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值 ,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是45,13.
13.(2016江苏,13)
如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是 .
答案78
解析因为在△ABC中,D是BC的中点,所以BA+CA=2DA.又因为BA-CA=BC,所以BA=2DA+BC2,CA=2DA-BC2.
所以BA·CA=4DA2-BC24=36DF2-BC24=4,
同理,BF·CF=4DF2-BC24=-1,
因此DF2=58,BC2=132,BE·CE=4DE2-BC24=16DF2-BC24=78.
14.(2016江苏,14)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .
答案8
解析sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C⇒tan B+tan C=2tan Btan C,
因为tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,
所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan Btan C>0,所以tan A+2tan Btan C≥22tanAtanBtanC,当且仅当tan A=2tan Btan C时,等号成立,即tan Atan Btan C≥22tanAtanBtanC,解得tan Atan Btan C≥8,即最小值为8.
15.(2016江苏,15)在△ABC中,AC=6,cos B=45,C=π4.
(1)求AB的长;
(2)求cosA-π6的值.
解(1)因为cos B=45,00,V是单调增函数 ;
当230,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=12.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤(f(x))2+4f(x)对于x∈R恒成立.
而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,
而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点 .
因为g'(x)=axln a+bxln b,
又由01知ln a<0,ln b>0,
所以g'(x)=0有唯一解 x0=logba-lnalnb.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,
所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数 .
于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数 ,在(x0,+∞)上是单调增函数 .
下证x0=0.
若x0<0,则x0aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断 ,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点 ,记为x1.因为00,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.
于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.
20.(2016江苏,20)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST=at1+at2+…+atk.例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:ST0,n∈N*,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.
因此,ST0,|x-1|0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);
②求p的取值范围.
解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点 为p2,0,
由点p2,0在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).
因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分 线段PQ,
于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.
①由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,
从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.
方程(*)的两根为y1,2=-p±p2+2pb,
从而y0=y1+y22=-p.
因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.
因此,线段PQ的中点坐标 为(2-p,-p).
②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,
所以p<43.
因此,p的取值范围是0,43.
23.(2016江苏,23)(1)求7C63-4C74的值;
(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+…+nCn-1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.
解(1)7C63-4C74=7×6×5×43×2×1-4×7×6×5×44×3×2×1=0.
(2)当n=m时,结论显然成立.当n>m时,
(k+1)Ckm=(k+1)·k!m!·(k-m)! =(m+1)·(k+1)!(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!=(m+1)Ck+1m+1,k=m+1,m+2,…,n.
又因为Ck+1m+1+Ck+1m+2=Ck+2m+2 ,
所以(k+1)Ckm=(m+1)(Ck+2m+2-Ck+1m+2),k=m+1,m+2,…,n.
因此,(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+…+(n+1)Cnm
=(m+1)Cmm+[(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+…+(n+1)Cnm]
=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+3m+2-Cm+2m+2)+(Cm+4m+2-Cm+3m+2)+…+(Cn+2m+2-Cn+1m+2)]=(m+1)Cn+2m+2.