2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二下学期期中联考（文科）数学试题 解析版

2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二下学期期中联考（文科）数学试题 解析版

绝密★启用前 ‎2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二下学期期中联考（文科）数学试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为所以抛物线的准线方程为选.‎ 考点：抛物线的几何性质.‎ ‎2．设，若，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，令，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，令，‎ 即，解得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算及其应用，其中解答中熟记导数的运算公式，准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．函数在上的单调性是（ ）‎ A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，根据三角函数的值域，得到，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为，则，所以函数为单调递减函数，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，其中解答中熟记函数的导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．函数在上的最大值为4，则的值为（ ）‎ A．7 B．-4 C．-3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数的单调性，即可求出函数在的最大值，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可得，‎ 令，解答（舍去），‎ 当时，，函数单调递减函数，‎ 当时，，函数单调递增函数，‎ 又由，则，‎ 所以函数的最大值为，解得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中利用导数求得函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5．直线与椭圆的位置关系为(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线，得到直线恒过点，只需判定点 在椭圆的内部，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线，可得直线恒过点，‎ 又由，所以点在椭圆的内部，‎ 所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的判定，其中解答中把直线与椭圆的位置关系转化为点与椭圆的位置关系的判定是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6．6．双曲线的焦点到渐近线的距离为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.‎ 考点：双曲线与渐近线．‎ 视频 ‎7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极小值点(　　 )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图象，得到函数的单调区间，再根据极小值点的定义，即可判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的定义域为开区间，其中导函数在内的图象，‎ 如图所示，由图象可知：‎ 当或或时，，‎ 当或时，，‎ 所以函数的增区间为，减区间为，‎ 所以函数在区间内有1个极小值点，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导函数的图象与原函数的单调性之间的关系，以及函数的极小值点的定义的应用，其中熟练应用导数得到原函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8．函数（其中为自然对数的底）的大致图像是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时， ，排除 当时， ，排除 当时， ‎ 当时， ‎ 函数在上先增后减 故选 ‎9．已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知设则由定义得 在中，由余弦定理得，故选A．‎ 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理．‎ ‎10．对于函数,下列说法正确的有 (　　)‎ ‎①在处取得极大值；‎ ‎②有两个不同的零点；‎ ‎③.‎ A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，得到函数的单调性与图象，结合函数的图象，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数的增区间是，减区间为，‎ 所以当时，函数有极大值，‎ 当时，，当时，，‎ 函数的图象如图所示，‎ 根据函数的图象可得：，且函数只有一个零点，‎ 综上可知，只有①③正确，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的极值与最值，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎11．已知椭圆左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用，得到与的关系式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由轴，故，即，‎ 设，‎ 因为，即，所以，解得，‎ 所以椭圆的离心率为，故选D．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中根据椭圆的几何性质，利用向量的坐标运算求得与的关系式，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数的图像上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数的图象上有两对关于轴的对称点，转化为与在时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由题意，当时，，则关于y轴的对称函数 ，‎ 由题意可得与在时有两个交点，‎ 设与相切于，‎ 因为的导数，所以，‎ 又由，即，解得，‎ 所以，‎ 由图象可得，当时，函数与在上有两个交点，‎ 即当时，函数的图象上有两对关于轴的对称点，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于轴的对称点，转化为与在时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，求得在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的方程，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，则，‎ 即在点处的切线的斜率为 ‎ 又由，即切点的坐标为，‎ 所以在点处的切线的方程为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14．如图在圆内有一点．为圆上一点，的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在线段上，且则的垂直平分线上，得到，利用椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由圆，可得圆心坐标，且，‎ 由题意知点在线段上，从而有，‎ 由点在的垂直平分线上，则，‎ 所以，‎ 由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，‎ 即，又由，则，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中根据题意，求得，利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎15．设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若(为坐标原点)的面积为4，则的值________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的方程求得焦点，则，又由直线的方程，求得，所以，利用面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由抛物线的方程，可得抛物线的焦点，则，‎ 因为直线的斜率为2，所以直线的方程为，‎ 令，解得，即，所以，‎ 所以的面积为，‎ 即，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线相交问题，以及三角的面积的应用，其中解答中根据抛物线的方程和直线的方程，求得的坐标是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎16．一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为_________________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，无盖的方盒的底面是正方形，且边长为，高为，得到无盖方盒的容积的函数，利用导数求得函数的单调和最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由于在边长为2的正方形纸板的四个角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖的方盒，‎ 所以无盖的方盒的底面是正方形，且边长为，高为，‎ 则无盖方盒的容积为：，‎ 整理得，，‎ 则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以当时函数取得最大值，最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出无盖方盒的函数表达式，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；‎ ‎ (2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，‎ 所以，即， ‎ 又由，则，‎ 而由切线的斜率可知，∴，即，‎ 由，解得，‎ ‎∴，．‎ ‎(2)由(1)知，则，‎ 令，得或，‎ 当变化时，，的变化情况如下表： ‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎8‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎4‎ ‎∴的极大值为，极小值为，‎ 又，，所以函数在上的最大值为13．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎18．已知双曲线的离心率为，且．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，列出方程组，求得的值，又由，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）把直线的方程与椭圆方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，代入圆的方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得 解得，又由，‎ 所以双曲线的方程为．‎ ‎(2)设两点的坐标分别为，，线段的中点为，‎ 由得(判别式)，‎ 所以，，‎ 因为点在圆上，‎ 所以，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎19．设函数.‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在上递增 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）时，，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以在上单调减小，在上单调增加 故的最小值为 ‎（Ⅱ）若，则，定义域为.‎ ‎，‎ 由得，所以在上递增，‎ 由得，所以在上递减，‎ 所以，，故.‎ 所以在上递增.‎ 考点：利用导数求函数的最值及单调区间 点评：第二小题求单调区间时，原函数的导数大于零（或小于零）的不等式不容易解，此时对导函数再次求其导数，判断其最值，从而确定原函数的导数的正负，得到原函数单调性 ‎20．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，并且经过点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）该椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出关于的方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，联立方程组，利用，求得，结合图象，利用点到直线的距离公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意 设椭圆的方程为，‎ 则，‎ 所以，所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ ‎，消去得，‎ 由，解得，‎ 当时，直线与直线间的距离，‎ 当时，直线与直线间的距离，‎ 所以椭圆上一点到直线的最小距离是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的几何性质，以及直线与椭圆联立方程组，合理利用二次函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎21．已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.‎ ‎（1）若直线的方程为，求证:；‎ ‎（2）若,则直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）联立，只要证明即可；‎ ‎（2）显然直线的斜率不为0，设，‎ 联立 消去得由可得 ‎，即直线方程为，即直线过定点.‎ 试题解析：（1）联立解得 ‎ ‎ ‎ ‎（2）显然直线的斜率不为0，设，‎ 联立 消去得 由得 ‎ 直线方程为，恒过定点.‎ ‎22．设函数,.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极值；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由曲线在点处的切线与直线垂直,得,即,解得，从而得到，进而可求解函数的单调区间；‎ ‎ (2)把恒成立转化为所以对任意恒成立，令,进而由在(0,+∞)上单调递减，得到函数在上恒成立,即可求解实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由，可得且,‎ 因为曲线在点处的切线与直线垂直,‎ 所以,即,解得，所以，‎ 当时,,单调递减；‎ 当时,,单调递增；‎ 所以当时,取得极小值,极小值为，‎ 综上,的单调递减区间为,极小值为2,无极大值．‎ ‎(2)因为对任意,恒成立,‎ 所以对任意恒成立，‎ 令,则g(x)在(0,+∞)上单调递减，‎ 所以在上恒成立,‎ 所以在上恒成立，‎ 令,则,‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎