【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章第5讲　利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题学案(1)

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章第5讲　利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题学案(1)

第5讲　利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题 把参数看作常数利用分类讨论方法解决 ‎[典例引领]‎ ‎ (2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.‎ ‎①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，‎ 则f(x)只有单调递增区间是(0，＋∞)．‎ ‎②当a＞0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜；‎ 由f′(x)＜0，得x＞；‎ 所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是.‎ ‎(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立．‎ 设g(x)＝ln x－a(x－1)，x＞0，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0，‎ ‎①当a≥1时，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，‎ 则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，‎ 所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1时满足题意．‎ ‎②当0＜a＜1时，令g′(x)＞0，得0＜x＜；‎ 令g′(x)＜0，得x＞.‎ 则g(x)在上单调递增，‎ 所以当x∈时，g(x)＞g(1)＝0，‎ 即0＜a＜1时不满足题意(舍去)．‎ ‎③当a≤0时，g′(x)＝－a＞0，‎ 则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ 所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，‎ 即a≤0时不满足题意(舍去)．‎ 综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．‎ 对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．　 ‎ 分离参数法求范围 ‎[典例引领]‎ ‎ (2018·枣庄模拟)已知函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎(1)求函数f(x)在[m，m＋1](m＞0)上的最小值；‎ ‎(2)对∀x∈(0，＋∞)，不等式xf(x)＞－x2＋λx－1恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【解】　f′(x)＝，‎ 令f′(x)＞0得x＞1；‎ 令f′(x)＜0得0＜x＜1，‎ 所以函数f(x)在(0，1)上是减函数；在(1，＋∞)上是增函数．‎ ‎(1)当m≥1时，函数f(x)在[m，m＋1](m＞0)上是增函数，所以f(x)min＝f(m)＝.‎ 当0＜m＜1时，函数f(x)在[m，1]上是减函数；‎ 在[1，m＋1]上是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝e.‎ ‎(2)由题意，对∀x∈(0，＋∞)，不等式ex＋x2＋1＞λx恒成立，即＋x＋＞λ恒成立，‎ 令g(x)＝＋x＋，‎ 则g′(x)＝，‎ 由g′(x)＞0得，x＞1；‎ 由g′(x)＜0得，0＜x＜1.‎ 所以g(x)min＝g(1)＝e＋2，所以λ＜e＋2.‎ 即λ的取值范围为(－∞，e＋2)．‎ 利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：‎ ‎(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；‎ ‎(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；‎ ‎(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．　 ‎ 等价转化法求参数范围 ‎[典例引领]‎ ‎ 设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.‎ ‎(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；‎ ‎(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.‎ 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.‎ 令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，‎ 令g′(x)＜0得0＜x＜，‎ 又x∈[0，2]，‎ 所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以g(x)min＝g＝－，‎ 又g(0)＝－3，g(2)＝1，‎ 所以g(x)max＝g(2)＝1.‎ 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，‎ 则满足条件的最大整数M＝4.‎ ‎(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，‎ 由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.‎ 在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立．‎ 设h(x)＝x－x2ln x，‎ h′(x)＝1－2xln x－x，‎ 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞.‎ 即m(x)＝xln x在上是增函数，‎ 可知h′(x)在区间上是减函数，‎ 又h′(1)＝0，‎ 所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；‎ 当＜x＜1时，h′(x)＞0.‎ 即函数h(x)＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，‎ 所以h(x)max＝h(1)＝1，‎ 所以a≥1，‎ 即实数a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．‎ ‎(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．　 ‎ 不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径 ‎(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；‎ 存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a.‎ ‎(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，‎ 存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.‎ ‎(3)f(x)＞g(x)恒成立F(x)min＞0.‎ ‎(4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)max；　‎ ‎②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)min；‎ ‎③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)min；‎ ‎④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)max.　　　 ‎ ‎1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0，1)　　 B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ 解析：选A．设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以 g′(x)<0，所以 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.‎ 因为 f(x)为奇函数，所以 g(x)为偶函数，‎ 所以 g(x)的图象的示意图如图所示．‎ 当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1，‎ 当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1，‎ 所以 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A．‎ ‎2．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤1 B．a≥1‎ C．a≤2 D．a≥2‎ 解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A．‎ ‎3．设函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝a2x2.‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)图象上的点到直线x－y＋3＝0距离的最小值；‎ ‎(2)是否存在正实数a，使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由f(x)＝－x＋ln x，得f′(x)＝－1＋，‎ 令f′(x)＝1，得x＝，‎ 所以所求距离的最小值即为P到直线x－y＋3＝0的距离，‎ d＝＝(4＋ln 2).‎ ‎(2)假设存在正数a，令F(x)＝f(x)－g(x)(x＞0)，‎ 则F(x)max≤0.‎ 由F′(x)＝a＋－2a2x＝0，得x＝，‎ 因为x＞时，F′(x)＜0，‎ 所以F(x)为减函数；‎ 当0＜x＜时，F′(x)＞0，‎ 所以F(x)为增函数，‎ 所以F(x)max＝F，‎ 所以ln ≤0，即a≥1.‎ 所以a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎4．(2018·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.‎ 当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减；‎ 当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.‎ 由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；‎ 由f′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．‎ ‎(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，则ax≤，即a≤.‎ 设h(x)＝，则问题转化为a≤()max，‎ 由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.‎ 当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ h(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.‎ ‎5．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．‎ 解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.‎ 令f′(x)＝0得x＝－1－，x＝－1＋.‎ 当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；‎ 当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，‎ 在(－1－，－1＋)上单调递增．‎ ‎(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.‎ 当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0(x>0)，‎ 因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.‎ 当00(x>0)，‎ 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.‎ 当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，‎ 取x0＝，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.‎ 当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.‎ 综上，a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎6．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xln x的图象在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝x2－x，若k∈Z，且k(x－2)＜f(x)－g(x)对任意的x＞2恒成立，求k的最大值．‎ 解：(1)f′(x)＝2ax＋b＋1＋ln x，‎ 所以2a＋b＋1＝3且a＋b＝1，解得a＝1，b＝0.‎ ‎(2)由(1)与题意知k＜＝对任意的x＞2恒成立，‎ 设h(x)＝(x＞2)，则h′(x)＝，‎ 令m(x)＝x－4－2ln x(x＞2)，则m′(x)＝1－＝＞0，‎ 所以函数m(x)为(2，＋∞)上的增函数．‎ 因为m(8)＝4－2ln 8＜4－2ln e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln 10＞6－2ln e3＝6－6＝0，‎ 所以函数m(x)在(8，10)上有唯一零点x0，即有x0－4－2ln x0＝0成立，‎ 故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即h′(x)＜0；当x0＜x时，m(x)＞0，即h′(x)＞0，‎ 所以函数h(x)在(2，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，‎ 所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝，‎ 所以k＜，因为x0∈(8，10)，‎ 所以∈(4，5)，又k∈Z，所以k的最大值为4.‎