数学卷·2019届江苏省苏州实验中学高二上学期第二次月考试题（解析版）x

数学卷·2019届江苏省苏州实验中学高二上学期第二次月考试题（解析版）x

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 江苏省苏州实验中学2017-2018学年第一学期 高二数学第二次月考 一、填空题：‎ ‎1. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOy的对称点坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：点P（2，1，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（2，1，﹣3）．‎ 故答案为：（2，1，﹣3）．‎ ‎2. 抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标为__________．‎ ‎【答案】(0，)‎ ‎【解析】抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），‎ ‎∵点（，0）关于直线x﹣y=0对称的点为（0，），‎ ‎∴抛物线y2=x关于直线x﹣y=0对称的抛物线的焦点坐标是（0，）．‎ 故答案为：(0，)．‎ ‎3. 双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵两条渐近线互相垂直，∴，∴b2=144，∴c2=288，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎4. 过点，且与直线垂直的直线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可设所求直线方程为：‎ 又过点 ‎∴，即 ‎∴所求直线方程：‎ 故答案为：‎ ‎5. “”是“直线和直线互相平行”的______条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或 “既不充分又不必要”填空）．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】若直线和直线互相平行，‎ 则m（m﹣1）=2，解得：m=2或m=﹣1，‎ 故m=﹣1是直线平行的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要．‎ 点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”.‎ ‎6. 若椭圆的离心率为, 则等于__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：因为焦点在x轴上的椭圆的离心率为，所以="2," =m，e===，m=。‎ 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。‎ 点评：简单题，关键是明确a,b,c,e的关系。‎ ‎7. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】m∥n，m⊥α⇒n⊥α；这是线与面垂直中出现的定理，故①正确，‎ α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，故②不正确，‎ m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故③不正确，‎ α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α进而得到n⊥β，故④正确，‎ 综上可知①④正确，‎ 故答案为：①④‎ ‎8. 将半径为R的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个 圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3的值为__________．‎ ‎【答案】R ‎【解析】∵2πr1=，∴r1=，同理r2= ，r3=‎ ‎∴r1+r2+r3=R，‎ 故答案为：R．‎ ‎9. 若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由导函数可知，原函数可以是f（x）=x2﹣4x+c，‎ ‎∴f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+c=x2﹣6x+4+c ‎∴令f′（x﹣1）=2x﹣6＜0‎ ‎∴x＜3‎ ‎∴函数f（x﹣1）的单调递减区间是（﹣∞，3）‎ 故答案为：（﹣∞，3）‎ ‎10. 已知圆上存在两个不同的点关于直线对称，过点作圆的切线，则切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，‎ 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．‎ 由题意可得，直线l：经过圆C的圆心（2，1），‎ 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（4，﹣1）．‎ ‎∴切线方程为 故答案为：‎ ‎11. 半径为1cm的球的半径以2 cm / s 的速度向外扩张，当半径为9cm 时，球的表面积增加的速度为_________cm2 / s．‎ ‎【答案】144‎ ‎【解析】根据球表面积S=4πR2得：‎ ‎=8πR×，其中=2，‎ 当半径R=9cm时，‎ ‎=8π×9×2=144πcm2/s 故答案为：144π．‎ ‎12. 点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，定点，则 的最大值为_________．‎ ‎【答案】15‎ ‎.....................‎ 考点：1椭圆的定义;2数形结合思想.‎ ‎13. 曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，则实数m的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线上存在唯一的点到A（t，-t+m）、B（-t，t+m）（t≠0，t为常数）两点的距离相等，即线段AB的中垂线与曲线有唯一的公共点.‎ 线段AB的中垂线为：‎ 曲线表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在y轴以及y轴右方的部分。‎ 在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过时有一个交点，此时m=1；直线过(0,−1)时先与半圆形有2个交点，此时m=−1‎ 再与圆有两个交点，最后相切，此时 故答案为:‎ 点睛：本题考查了直线与半圆的交点个数问题，处理手段是数形结合，通过平行移动直线，直观的看到二者的交点情况，然后通过代数手段确定相切时的m的取值即可.‎ ‎14. 椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，‎ 由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，‎ 又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，‎ 则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，‎ 则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）‎ ‎=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4‎ ‎=+（2+4km）+4m2+4=0‎ 则m2﹣km﹣2k2=0，‎ ‎∴（m﹣2k）（m+k）=0，‎ ‎∴m=2k或m=﹣k．‎ 当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．‎ 此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．‎ 当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．‎ 当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．‎ 综上，直线BC过定点（1，0）．‎ 故答案为：（1，0）．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ 二、解答题：‎ ‎15. 求曲线上过点的切线方程．‎ ‎【答案】和 ‎【解析】试题分析: 求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程，代入A，求出k，即可求出切线方程．‎ 试题解析：‎ f′（x）=﹣3x2+3．设切线的斜率为k，切点是（x0，y0），则有y0=3x0﹣x03，‎ k=f′（x0）=﹣3x02+3，‎ ‎∴切线方程是y﹣（3x0﹣x03）=（﹣3x02+3）（x﹣x0），‎ A（2，﹣2）代入可得﹣2﹣（3x0﹣x03）=（﹣3x02+3）（2﹣x0），‎ ‎∴x03﹣3x02+4=0‎ 解得x0=﹣1，或x0=2，‎ k=0，或k=﹣9．‎ ‎∴所求曲线的切线方程为：和，‎ 故答案为：和 ‎16. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，‎ ‎∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥面PAD；‎ ‎（2）证明：面PDC⊥面PAD；‎ ‎（3）求四棱锥P—ABCD的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析: （1）确定出EF∥AP，运用判断定理可证明．（2）抓住CD⊥AD，CD⊥面PAD，运用面面垂直的定理可证明．（3）确定PO为四棱锥P﹣ABCD的高．‎ 求出PO=1，运用体积公式V=PO×AB×AD求解即可． ‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F，又E是PC的中点，所以，EF∥AP ‎ ‎∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD ‎ ‎（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线且在面PDC内，∴AP⊥面PCD，又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD ‎ ‎（3）取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高，∵AD=2，∴PO=1，‎ 所以四棱锥P—ABCD的体积 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎17. 已知圆M的圆心在直线上，且经过点A（-3，0），B（1，2）．‎ ‎（1）求圆M的方程；‎ ‎（2）直线与圆M相切，且在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】试题分析: （1）设圆心坐标为（a，﹣a），则（a+3）2+a=（a﹣1）2+（a﹣2）2，解得a=﹣1，r=，即可求圆M的方程；‎ ‎（2）由题意，直线l不过原点，设方程为，即2x+y﹣2a=0，利用直线l与圆M相切，建立方程，求出a，可得直线l的方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设圆M的方程为 将A，B点坐标代入得：9 - 3D + F = 0， ①‎ ‎ 5 + D + 2E + F = 0 ②‎ 又圆M的圆心在直线上，所以 ③ ‎ 解 ①，②，③ 得： ‎ ‎∴圆M的方程为 . ‎ ‎（2）将圆M的方程化为标准方程得：，‎ ‎∴圆心，半径r = ， 直线与圆M相切，且原点在圆M内，‎ ‎ 直线不过原点， ∵在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，‎ 故可设直线的方程为，　 即为，‎ ‎∵直线与圆M相切，∴圆心M到的距离，‎ 即， 解得或，‎ ‎∴ 直线的方程为或．‎ ‎18. 如图，点是椭圆：的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上，且轴，．‎ ‎（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点的坐标为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）利用两条直线的交点解出点P的坐标，再利用数量积公式，进而求出b的值，得到点P的坐标代入椭圆方程即可．‎ ‎（2）类比（1）利用向量关系得到t与b的方程及点P的坐标，代入椭圆方程并利用a2＞b2建立不等式，解出即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得,的方程为,由,则所以 ‎ 由＝9．即, ‎ 所以,即，所以,又在椭圆上,得，‎ 解得, 所求椭圆方程； ‎ ‎ (2) 由,,则，所以 ‎ 由＝9．所以,‎ 所以,则,代入椭圆方程得,‎ 得., 所以, 解得.‎ ‎19. 如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，O为正四棱锥底面中心．‎ ‎（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；‎ ‎（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．‎ ‎【答案】（1）立方分米（2）平方分米 ‎【解析】试题分析: （I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；‎ ‎（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设正四棱锥底面边长为y分米，由条件知△APQ为等边三角形，‎ 又，∴．‎ ‎∵，∴．‎ 由，即得． ‎ ‎∴ .‎ 答：这个正四棱锥的体积是立方分米 ‎ ‎（Ⅱ）设正四棱锥底面边长为y，则． ‎ 由，即得． ‎ ‎∴即为所求表达式． ‎ ‎∵，∴，‎ 令，则，‎ 由对恒成立知函数在上为减函数．‎ ‎（或者分子、分母同时除以，利用“对勾函数”进行说明）‎ ‎∴平方分米即为所求侧面积的范围．‎ ‎20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: =1（a>b>0）过点P(1,）．离心率为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t．‎ 求t的最大值；‎ ‎②若直线l的斜率为，试探究OA2+ OB2是否为定值，若是定值，则求出此 定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）当时，t有最大值；定值7‎ ‎【解析】试题分析: （1）由椭圆过点P(1,），离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）①设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出t的最大值．‎ ‎②设直线l的方程为，代入椭圆，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出OA2+OB2为定值．‎ 试题解析：‎ ‎（1） 得 所以椭圆. ‎ ‎（2）①设直线l的方程为，直线l与椭圆C的交点为，‎ 由化简得，易知，‎ 所以， ‎ 所以＝，‎ 所以， ‎ 所以当时，t有最大值. ‎ ‎②设直线l的方程为，直线l与椭圆C的交点为，‎ ‎ 得，‎ ‎，即. ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎==7.‎ 点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法：‎ ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎ ‎