2018-2019学年黑龙江省大庆市第四中学高二下学期第二次月考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆市第四中学高二下学期第二次月考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆市第四中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 集合，，‎ 则.‎ 故选B.‎ ‎2．已知复数对应复平面上的点，复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】复数对应复平面上的点，所以.‎ 由得： .‎ ‎，所以.‎ 故选C.‎ ‎3．设，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.‎ 所以有 则则是的充分但不必要条件.故选A ‎4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A:是奇函数，对于B:为偶函数，且在上单调递增；对于C:为偶函数，但在上单调递减；对于D:是减函数；‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（1为偶函数，-1为奇函数）.‎ ‎5．5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎【答案】C ‎【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，‎ 据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．‎ ‎《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 当时，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，不满足条件，退出循环体，输出，‎ 所以，.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.‎ ‎7．命题；命题，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断两个命题的真假，再判断命题的否定的真假，从而根据逻辑联结词的定义确定复合命题的真假.‎ ‎【详解】‎ 命题，当时，符合结论，故命题p是真命题，命题，当时，，不符合结论，故命题q是假命题；所以是假命题，是真命题，则是真命题.‎ 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判断和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，其中判断基本命题的真假是关键，属基本题.‎ ‎8．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数与指数函数的性质和计算公式，将a，b，c与0比较，再利用换底公式比较a和b即可.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数定义得：，，‎ 显然，又，‎ 故可得：.‎ 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底；②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”；③图象法，根据图象观察得出大小关系.‎ ‎9．函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数为奇函数，故排除D．‎ 又，故排除B,C．‎ 选A．‎ 点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：‎ ‎（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；‎ ‎（3）根据函数图象的变化趋势判断；‎ ‎（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．‎ ‎10．已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得m＝﹣2，然后根据题意得x≥3时，f（x）必为增函数且f（3）≤2．解不等式可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（2）＝2m+8＝4，解得m＝﹣2，∴f（x）＝，‎ 当x＜3时，f（x）＝﹣2x+8是递减函数，f（x）＞f（3）＝2，此段无最小值，‎ 所以当x≥3时，f（x）必存在最小值，所以f（x）＝logax必为[3，+∞）上的递增函数，‎ 所以a＞1，且f（3）≤2，∴loga3≤2，解得a．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的最值及其单调性，属于中档题．‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性分析得到函数的周期，再利用对称性和周期性求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知关于原点对称，且对称轴为，‎ 故是周期为4的周期函数，则 ‎，‎ 所以本题答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性和周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，其中根据函数的对称性求出函数的周期是本题的关键.‎ ‎12．当直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，曲线；当 时，曲线；当时，曲线，根据数形结合可得实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，曲线；‎ 当时，曲线；‎ 当时，曲线.‎ 如图所示：‎ 直线与曲线有3个公共点时，实数k的取值范围是，‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的绘制，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，解题的关键是要准确作出含有绝对值函数的图像.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若是虚数单位，则复数的虚部为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简复数为的形式，由此求得复数的虚部.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以复数的虚部为，‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算、实部与虚部的概念，解题的关键在于计算要准确，属基础题.‎ ‎14．函数的单调增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，要求函数y＝（6-x﹣）的单调增区间，只要求解函数g（x）＝6-x﹣x2在定义域上的单调递减区间即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，6-x﹣x2＞0‎ ‎∴函数的定义域为﹣3＜x＜2‎ 令g（x）＝6-x﹣x2，y＝log0.6g（x）‎ ‎∵y＝t在（0，+∞）上单调递减，‎ 而g（x）＝6-x﹣x2在（﹣3，]上单调递增，在[，2）上单调递减 由复合函数的单调性可知，函数y＝（6-x﹣）的单调增区间（，2）‎ 故答案为：（，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是复合函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解.‎ ‎15．已知函数没有零点，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，设，得到在上无解，然后分离参数，求出的范围，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设，在上无解，‎ 分离参数得，‎ 则，当且仅当，即时取等号，‎ 因为与在上没有交点，‎ 所以，故本题答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中把方程的根的个数问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档题.‎ ‎16．设函数，则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定的奇偶性，再确定的单调性，最后根据单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知的定义域为R，‎ 又，‎ 故是偶函数，当时，，‎ 是单调递增函数，在是单调递增函数，‎ 根据复合函数的单调性可得在是单调递增函数，‎ 则函数为偶函数，且在区间上单调递增，原不等式等价于 ‎，，解得，‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】‎ 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据将直线的极坐标方程转为直角坐标系方程，（2）利用点到直线的距离公式求出上的点到的距离，结合三角函数辅助角公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，‎ 故曲线上的点到的距离，‎ 故的最大值为 由题设得，‎ 解得.‎ 又因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到直线的距离时，利用三角函数的方法在计算中更为简单.‎ ‎18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是曲线上的动点，点满足 ‎（Ⅰ）求点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线、交于不同于极点的两点，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，则由条件知，得到消去参数可得的轨迹方程为 ；（2）根据分别求出曲线，的极坐标方程，将分别这两个方程，求得交点的极径，，根据极坐标的几何意义，因此求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设，则由条件知.因为点在上，所以（为参数） ‎ 即（为参数）‎ 从而的轨迹方程为 .‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 射线与的交点的极径为 射线与的交点的极径为. ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标的几何意义的应用问题，其中解答中熟记极坐标几何意义的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据切线方程得出的值，利用导数的几何意义和点构造关于a，b的二元一次方程组，解出a，b，从而得到的解析式；（2）构造函数，然后求导，研究的范围，从而证明.‎ ‎【详解】‎ 解（Ⅰ）：，则，‎ 解得 ‎（Ⅱ），‎ 则在上递增，在上递减，‎ 成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的综合应用及不等式的证明，解决问题的关键是化不等式恒成立问题为函数的最值，属基础题.‎ ‎20．已知函数，讨论的单调性.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，然后对分四种情况讨论：（1）；（2）；（3）；（4），分别求出每种情况的单调性.‎ ‎【详解】‎ 解的定义域为 ‎（1）当时， 减区间为，增区间为 ‎ ‎（2）当时， 增区间为 ‎ ‎（3）当时， 减区间为，增区间为， ‎ ‎（4）当时， 减区间为，增区间为，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析法与不等式的性质，确定参数的讨论范围是解题的关键，属于中档题.‎ ‎21．已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.‎ ‎（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；‎ ‎（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导，求出函数的极值点，即可求出的值，再根据定积分的几何意义即可求出面积；（2）先求导，得到，分类讨论，判断函数的极小值，求出极小值，得到关于的不等式解得即可.‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎∴令得，‎ 由题意可得，解得 故，.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ 当时，无极值；‎ 当，即时，令得；‎ 令得或 ‎∴在处取得极小值.‎ 当，即时，在上无极小值，‎ 故当时，在上有极小值，且极小值为即 ‎∵‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查的是利用导数研究函数的极值，求导后出现二次函数形式，一般的讨论方法有：先看二次项系数是否为0，然后看能否因式分解，能分解的话，直接比较两根的大小，不能分解就由判别式和图象结合判断导函数的正负.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：函数有唯一零点；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若 ‎，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．‎ 试题解析：（I），‎ 易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，‎ 因此，即在区间上恰有一个零点，‎ 由题可知在上恒成立，即在上无零点，‎ 则在上存在唯一零点．‎ ‎（II）设的零点为，即．原不等式可化为，‎ 令，则，由（I）可知在上单调递减，‎ 在上单调递增，故只求，，设，‎ 下面分析，设，则，‎ 可得，即 若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．‎ 因此，即求所求．‎ ‎【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．‎