数学理卷·2019届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（2018-04）

数学理卷·2019届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（2018-04）

‎2017~2018高二下学期第一次段考理科数学试题 命题人：李维、吴以浩 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 下列函数求导运算正确的个数为 ‎ ①(3x)′＝3xlog3e； ②(log2x)′＝； ③′＝cos ； ④′＝x.‎ ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2. 函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知函数 的导函数 ，若 在 处取到极大值，则 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知曲线的方程为，给定下列两个命题：‎ 若，则曲线为椭圆； 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则．‎ 那么，下列命题中，真命题是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7. 设函数 有三个零点 ，，，且 ，则下列结论正确的是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 曲线 上的点到直线 的最短距离是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 某堆雪在融化过程中，其体积 （单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 ．那么，瞬时融化速度等于 的时刻是图中的 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 设函数 是奇函数 的导函数，，当 时，，则使得 成立的 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知函数，若且，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中，若存在唯一的整数x0，使得，则a的取值范围是 ‎ A. [，1) B. [) C. [) D. [，1)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 定积分 的值为 ．‎ ‎ ‎ ‎14. 已知三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎15. 若直线 与曲线 相切，则 ．‎ ‎16. 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. (本小题10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm2.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m3，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎18. (本小题12分)已知．经计算得，，，．‎ ‎（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎ ‎ ‎19. (本小题12分)如图，在三棱柱 中，，，点 是线段 的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若 ，，求二面角 的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. (本小题12分)设函数 ．‎ ‎（1）若 ，求 的单调区间；‎ ‎（2）若当 时 ，求 的取值范围．‎ ‎21. (本小题12分)已知椭圆 的离心率是 ，且过点 ．直线 与椭圆 相交于 ， 两点．‎ ‎（1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设直线 ， 分别与 轴交于点 ，．判断 ， 的大小关系，并加以证明．‎ ‎22. (本小题12分)已知函数，，其中．设．‎ ‎（1）若 在 处取得极值，且 ，求函数 的单调区间；‎ ‎（2）若 时，函数 有两个不同的零点 ，．‎ ‎ ①求 的取值范围；‎ ‎ ②求证：．‎ ‎ ‎ ‎2017~2018高二下学期第一次段考理科数学答案 命题人：李维、吴以浩 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ADBBC DDACB AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎ 13. 14. 15. 16. 5‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，………………………………1分 所以h＝(300－4r2)，…………………………………………………………………………………2分 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．………………………………………………………………………4分 因r>0，又由h>0可得r<5，‎ 故函数V(r)的定义域为(0,5)．………………………………………………………………………5分 ‎(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，………………………………………………6分 令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．……………………………7分 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；……………………………………………8分 当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．‎ ‎………………………………………9分 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，‎ 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．……………………………………………………10分 ‎18.（1） 由题意知，，，，‎ 由此得到一般性结论：（或者猜想 也行）．……4分 ‎    （2） ① 当 时，，猜想成立．……5分 ‎② 假设 时，结论成立，即 ，………………………6分 那么， 时，‎ ‎ ‎ ‎…………………7分 ‎…………………9分 ‎…………………10分 所以当 时，猜想也成立．…………………………………………………………………11分 由 ①② 可知，上述结论对 都成立，所以猜想成立．………………………………12分 ‎19.（1） 连接AC1，交A1C于点M。连接OM，BC1。．‎ 因为 棱柱的侧面是平行四边形，所以M是AC1的中点。‎ 又因为O是AB中点，所以 OM是△ABC1的中位线，……………1分 所以OM∥BC1。………………………………………………………2分 又因为OM⊂平面OA1C，BC1⊄平面OA1C，………………………3分 所以BC1∥平面OA1C．………………………………………………4分 ‎    （2）连接，，．‎ 因为 ，，‎ 故 ， 都为等边三角形。‎ 因为O是AB中点，所以 ，。‎ 因为，，所以OC＝OA1＝，A1C2＝OC2＋A1O2。‎ 所以OC⊥OA1。‎ 所以 ，， 两两垂直，……………………………………………………………………5分 以 为原点，，， 所在直线分别为x，， 轴，建立空间直角坐标系，‎ 则 ，，，…………………………………………………6分 ‎，，…………………………………………………………7分 设平面 的法向量 ，则 …………………8分 取 ，得 ，……………………………………………………………9分 平面 的法向量 ，……………………………………………………………10分 设二面角 的平面角为，显然为锐角，故 ．…11分 所以二面角 的余弦值为 ．………………………………………………………12分 ‎20. （1） 时，，‎ ‎ ，………………………………………………2分 令 ，可得 或 ；令 ，可得 ．…………………4分 所以函数的单调增区间是 ，；单调减区间为 ．………………………6分 ‎    （2） ．‎ 令 ，则 ．……………………………………………………8分 若 ，则当 时，， 为增函数，而 ，从而当 时，，即 ．……………………………………………………………………………9分 若 ，则当 时，， 为减函数，而 ，从而当 时，，即 ．………………………………………………………………………11分 综合得 的取值范围为 ．……………………………………………………………………12分 ‎21. （1） 设椭圆 的半焦距为，‎ 因为椭圆 的离心率是 ，所以 ，即 ，…………1分 由 解得 …………………………………………………………………3分 所以椭圆 的方程为 ．………………………………………………………………4分 ‎      （2） ．‎ 证明如下：将 代入 ，‎ 消去 整理得 ，………………………………………………………5分 令 ，解得 ，……………………………………………6分 设 ，，‎ 则 ，，…………………………………………………………7分 设直线 ， 的斜率分别是 ，，‎ 则 ，其中 ‎ ………………………10分 所以直线 ， 的倾斜角互补，所以 ，‎ 所以 ，……………………………………………………………………………11分 所以 ．……………………………………………………………………………………12分 ‎22. （1） 因为 ，所以 ，………………………………………1分 由 可得 ．‎ 又 在 处取得极值，所以 ， ‎ 所以 ，，所以 ，其定义域为 ，，，………………………………2分 令 ，得 ，当 时，；当 时，； ‎ 所以函数 的增区间为 ，减区间为 ．…………………………………………3分 ‎      （2） 当 时，，其定义域为 ，‎ ‎①由 得 ，记 ，‎ 由题意得 与函数 的图象有两个不同的交点，………………………………4分 又 ，，………………………………………………………………5分 令 ，且 ，得 ；令 ，且 ，得 ；‎ 所以 在 上单调递减，在 上单调递增；‎ 所以当 时， 取得最小值 ，……………………………………………………………6分 又 ，所以当 时，，而当 时，，当 时，，…………………………………………………………………………………………7分 因为与函数 的图象有两个不同的交点，所以 的取值范围是 ．…8分 ‎②由题意得 ，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，则 ，不妨设 ，‎ 要证 ，只需要证 ， ‎ 即证 ，…………………………………………………………………9分 设 （），则 ，………………………………………………………10分 令 （），‎ 所以 ，…………………………………………………11分 所以函数 在 上单调递增，‎ 所以 ，即 ，…………………………………………………12分 所以 ，即 ．‎