【推荐】试题君之每日一题君2016-2017学年高二数学人教A版必修5（10月16-31日）

【推荐】试题君之每日一题君2016-2017学年高二数学人教A版必修5（10月16-31日）

‎10月16日 简单分式不等式和高次不等式的解法 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 不等式的解集是 A． B． ‎ C． D． ‎【参考答案】A ‎【试题解析】通过移项、整理，原不等式可变为，即，即.‎ 利用“穿针引线法”，结合下图，可得原不等式的解集是，故选A.‎ ‎【解题必备】（1）解分式不等式的思路是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.‎ 应注意：①解型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.②对于形如的分式不等式，其中，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解.‎ ‎（2）常用的解高次不等式的方法有两种：‎ ‎①将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，利用积的符号法则，将高次不等式转化为两个或多个不等式（组），于是原不等式的解集就是各不等式（组）解集的并集.‎ ‎②穿针引线法，即数轴标根法，这种方法在解高次不等式时非常方便，其解题步骤为：‎ 第一，将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式（因式中x的系数为正）或二次不可约因式的乘积；‎ 第二，求出各因式的实数根，并在数轴上标出来；‎ 第三，自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，但要遵循“奇过偶不过”的原则（即遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过）.若有三重以上根，也可先等价转化；‎ 第四，记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集.‎ 注意：不等式若带“=”，则点画为实心原点，解集边界处应有等号.‎ ‎1．不等式的解集为 A． B． C． D． ‎2．不等式的解集是 A． B． C． D． ‎1．C 【解析】不等式可化为，其等价于且，所以原不等式的解集为.‎ ‎2．C 【解析】不等式即，由穿针引线法得，即原不等式的解集是.‎ ‎10月17日 一元二次不等式及其解法 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 若不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎【参考答案】.‎ ‎【试题解析】显然恒成立，所以要使不等式的解集为，只要恒成立.‎ 当时，，，此时原不等式只对于的实数成立，故不符合题意；‎ 当时，要使恒成立，需满足，即，故.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【解题必备】对于一元二次不等式在实数集上的恒成立问题，不等式对任意恒成立或；不等式对任意恒成立或.‎ ‎1．为使关于x的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围是 .‎ ‎2．假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg，其中征税标准为每100元征8元（即税率为8个百分点，8%），计划可收购m kg.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购可增加2x个百分点.‎ ‎（1）写出税收y（元）与x的函数关系式；‎ ‎（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎1． 【解析】当时，不等式化为，恒成立，所以；‎ 当时，关于x的不等式对一切实数x都成立，‎ 需，解得.‎ 综上知，a的取值范围是.‎ ‎2．【解析】（1）依题意得调节后的税率为，预计可收购，总金额为 元，则，其中．‎ ‎（2）因为原计划税收元，所以，‎ 整理得，解得，‎ 又，所以x的取值范围是.‎ ‎10月18日 二元一次不等式表示的平面区域 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆‎ 画出下面二元一次不等式表示的平面区域：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【参考答案】详见解析.‎ ‎【试题解析】（1）画出直线，‎ ‎∵，∴表示的区域为含(0，0)的一侧，‎ 因此所求为图中阴影部分所示的区域，包括边界．‎ ‎（2）画出直线，‎ ‎∵，∴，即表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求为图中阴影部分所示的区域，不包括边界．‎ ‎【解题必备】画二元一次不等式表示的平面区域时，一般步骤为：‎ 第一步，直线定界，画出边界直线，要注意是虚线还是实线；‎ 第二步，特殊点定域，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定所求不等式表示的平面区域.当时，一般取原点作为测试点.‎ 第三步，用阴影表示出平面区域.‎ 判断二元一次不等式表示的平面区域时，有三种方法：（1）点判断法，即取点，计算代数式的值，判断点与直线的位置关系，从而确定平面区域；（2）符号判断法，即把的符号与的符号相比，同右异左；（3）符号判断法，即把的符号与的符号相比，同上异下.‎ ‎1．不等式表示的平面区域是 ‎ A B C D ‎2．直线下方的平面区域用不等式表示为 .‎ ‎1．A 【解析】取测试点，排除B，D.又边界应为实线，故排除C.‎ ‎2． 【解析】点在直线的下方，应使不等式成立，所以直线 下方的平面区域用不等式表示为.‎ ‎10月19日 二元一次不等式组表示的平面区域 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 设不等式组表示的平面区域为M.‎ ‎（1）在平面直角坐标系中画出平面区域M；‎ ‎（2）若直线分平面区域M为面积相等的两部分，求的值.‎ ‎【参考答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【试题解析】（1）在平面直角坐标系中画出平面区域M如下图中阴影部分所示：‎ ‎（2）如下图，易求得，，.‎ 因为直线恒过点，所以要使分得的平面区域M为面积相等的两部分，只需直线过线段的中点，即，‎ 将其坐标代入中，得，解得.‎ ‎【解题必备】（1）二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.‎ ‎（2）若求平面区域的面积问题，先画出不等式组表示的平面区域，然后判断平面区域的形状，并求出各边界交点的坐标、图形的边长、相关的线段长度等，最后求解面积.‎ 若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则通过分割将平面区域化为几个规则图形，再求面积.‎ ‎1．不等式组表示的平面区域的面积为 .‎ ‎2．画出以，，为顶点的的区域（包括各边），并写出该区域所表示的二元一次不等式组.‎ ‎1．16 【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为.‎ ‎2．【解析】如图，连接点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求的区域（包括各边）.‎ 由，，求得直线的斜率为，则直线的方程为 ，即 .‎ 同理，可求得直线的方程为，直线的方程为.‎ 在内取一点，将其坐标分别代入，，，得，‎ ，.‎ 因此，所求区域所表示的二元一次不等式组为.‎ ‎10月20日 二元一次不等式组表示的平面区域与 其他知识的综合考查 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（2013·四川理科）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 A． B． C． D． ‎【参考答案】C ‎【试题解析】设两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻分别为，，则，应满足，该不等式组表示的区域为图中正方形及其内部.‎ 两串彩灯在第一次闪亮的时刻相差不超过2秒，则，该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.‎ 故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为，选C.‎ ‎【名师点睛】（1）本题考查不等式组表示平面区域的作法，几何概型的概率计算公式，适度强化了不同模块间的联系与综合，解题的关键是理解题意，特别是对最后一句话的理解.‎ ‎（2）与平面区域相综合的知识点一般为几何概型、向量、函数等，命题的热点仍然是平面区域的面积的求解.‎ ‎1．若函数（且）的图象经过不等式组 所表示的平面区域，则的取值范围是 ．‎ ‎2．设，，，若是的真子集，则的取值范围是 ．‎ ‎3．已知点，，．若平面区域D由所有满足的点组成，则D的面积为__________．‎ ‎1． 【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示：‎ 由解得，则.‎ 当函数的图象经过点时，.‎ 根据对数函数的图象与性质可知，要使得函数（且）的图象经过不等式组 所表示的平面区域，‎ 则实数的取值范围是．‎ ‎2． 【解析】如图，作直线，直线.‎ 显然集合表示的平面区域在内部（含边界），而集合是以原点为圆心，5为半径的圆面（含 边界），直线过原点，要满足题意，它与直线的交点必在点的上方（可重合），‎ 同样它与直线的交点必在点的上方（可重合），‎ 所以，即．‎ ‎3．3 【解析】，，．‎ 设，则．‎ ‎∴，得.‎ ‎∵，∴，则平面区域D如图中阴影部分所示：‎ 可得，，，则，‎ 又直线与直线间的距离，‎ 故D的面积为.‎ ‎10月21日 二元一次不等式（组）与平面区域 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 某厂使用两种零件A，B装配甲，乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A，6个B，装一件乙产品需要6个A，8个B.2016年8月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个，用不等式组将甲，乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域．‎ ‎【参考答案】详见解析.‎ ‎【试题解析】设每月生产甲产品x件，每月生产乙产品y件，‎ 则x，y满足，即.‎ 在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分所示：‎ ‎【解题必备】用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要，选取起关键作用且关联较多的两个量，并用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，最后把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．注意：在实际问题中，列出不等式组时，必须把所有的限制条件都要考虑到，不能遗漏．‎ ‎1．如图所示，表示满足不等式的点所在的区域为 ‎ A B C D ‎2．若点在直线的下方，则m的取值范围为________.‎ ‎3．（2015·重庆文科）若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为 A． B．1 C． D．3‎ ‎1．B 【解析】由或，直线与直线的交点为，取特殊点，可知该点不在不等式表示的平面区域内，排除A，C；取特殊点，满足，则该点在不等式表示的平面区域内，排除D，故选B.‎ ‎ 【名师点睛】对于含二元一次因式的不等式，如 均为正）形式的不等式，在画出该不等式表示的平面区域时，需将原不等式转化为几个二元一 次不等式组，再分别作出各个不等式所表示的平面区域，最后把这些平面区域“先交后并”，即为所求的 平面区域.若在选择题中出现，判断对应的平面区域时，可以采用下面结论：‎ 均为正）表示的区域为相交直线的左右对 顶的区域，均为正）表示的区域为相交直 线的上下对顶的区域.利用此结论，本题可迅速得到答案B.‎ ‎2． 【解析】对于直线，令，得，‎ 则直线上有点，‎ 因为点在直线的下方，则，即，解得或.‎ 故填.‎ ‎3．B 【解析】如图，‎ 由于不等式组表示的平面区域为，且其面积等于，‎ 再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形.‎ 易知，，，，‎ 从而，‎ 化简得，解得或.‎ 检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以.故选B.‎ ‎10月22日 线性目标函数的最值问题 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（2016·新课标全国Ⅲ理科）若x，y满足约束条件，则的最大值为_____________.‎ ‎【参考答案】 ‎【试题解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由 得 ，即，则．‎ ‎【解题必备】求线性目标函数的最值有两种方法：‎ ‎（1）平移直线法，一般步骤是：①在平面直角坐标系内作出可行域；②理解目标函数的几何意义，利用平移的方法在可行域内找到最优解；③将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎（2）顶点代入法，一般步骤是：①依约束条件画出可行域；②求出可行域各顶点的坐标；③分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较即可得到最大（小）值.‎ ‎1．若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是 A． B． C． D． ‎2．（2014·新课标全国Ⅰ文科）设，满足约束条件，且的最小值为7，则 A． B．3 C．或3 D．5或 ‎1．C 【解析】易知约束条件表示以为顶点的四边形区域，把四个顶点的坐标分别代入，得当时，；当时，；当时，；当时，.‎ 则，所以.选C.‎ ‎2．B 【解析】解方程组得，代入中，得.‎ 当时，的最大值是7；‎ 当时，的最小值是7.故选B.‎ ‎ ‎ ‎10月23日 线性规划在实际问题中的应用 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（2016·新课标全国Ⅰ理科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.‎ ‎【参考答案】.‎ ‎【试题解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么 由题意得约束条件.目标函数.‎ 约束条件等价于 ①.‎ 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.‎ 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时，取得最大值.‎ 解方程组，得的坐标为.‎ 所以当，时，.‎ 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.‎ ‎【解题必备】（1）对于资源一定，要求利益最大的问题，需根据题意把资源限制作为约束条件，列出不等式组，把利益作为目标函数，然后在可行域内求出利益最大值.‎ ‎（2）对于任务一定，要求消耗最少资源的问题，需根据题意把任务限制作为约束条件，列出不等式组，把资源作为目标函数，然后在可行域内求出消耗资源最小值.‎ ‎（3）实际问题中一般都是要求整数解，若求出的不是整数解，需对求出的最优解进行调整.‎ ‎1．某公司计划2017年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，‎ 广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？‎ ‎2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：‎ 规格类型 钢板规格 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 第二种钢板 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问：各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用的钢板的张数最少？‎ ‎1．【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，‎ 由题意得，目标函数为．‎ 二元一次不等式组等价于，作出该二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如 图中阴影部分所示： ‎ 如图，作直线，即．‎ 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．‎ 由解得．‎ 则点M的坐标为．‎ 故.‎ 答：该公司分配在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟和200分钟时，公司收益最大，最大收 益为70万元.‎ ‎2．【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，可得，且x、y都是整数，求使取得最小值时的x、y.‎ ‎ 作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示：‎ 解得.平移直线，可知直线经过点时，取得最小值，‎ 为，但此时，，故不是最优解.‎ 在可行域内打网格，得点附近的所有整数点，平移直线，发现当平移至(4,8)或(3,9)‎ 时，z取得最小值，为12.‎ 答：截第一种钢板4张，第二种钢板8张或截第一种钢板3张，第二种钢板9张，可得所需A、B、C三 种规格成品，且使所用的钢板的张数最少，为12张.‎ ‎10月24日 非线性目标函数的最值问题 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 已知实数x，y满足.‎ 求：（1）的最大值；（2）的最小值；（3）的取值范围．‎ ‎【参考答案】（1）21；（2）；（3）．‎ ‎【试题解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示：‎ 可求得顶点的坐标为、、．‎ ‎（1）易知可行域内各点均在直线的上方，故，将点代入得z的最大值为21．‎ ‎（2）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是．‎ ‎（3）表示可行域内任一点与定点连线的斜率的两倍，‎ 而，，故z的取值范围为.‎ ‎【解题必备】从历年高考题目来看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，也可能涉及非线性目标函数的最值问题，考查学生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.‎ 对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键.常见的有三种类型：‎ ‎（1）形如的目标函数，可化为可行域内的点与点间的距离的平方的最值问题.‎ ‎（2）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点与点连线斜率的倍的范围或最值问题.‎ 特别地，表示点与原点连线的斜率.‎ ‎（3）形如的目标函数，由可将问题化为可行域内的点到直线的距离的倍的最值问题.‎ ‎1．（2016·山东理科）若变量x，y满足，则的最大值是 A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎2．（2015·浙江理科）若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎1．C 【解析】不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形区域，表示点到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值为，故选C.‎ ‎2． 【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故，‎ 当时，，如下图所示，可行域为小的弓形及其内部，‎ 目标函数，则可知当，时，.‎ 当时，，如下图所示，可行域为大的弓形及其内 部，目标函数，则可知当，时，.‎ 综上所述，的最小值是3.‎ ‎10月25日 线性规划与其他知识的综合 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 设满足约束条件，向量，，且∥，则 的最小值为 A． B．2 ‎ C．6 D． ‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由向量，，且∥，得，即．‎ 画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示：‎ 由解得，则.‎ 由，得， ‎ 故当直线在轴上的截距最大时，最小，‎ 即当直线过时，取得最小值，为.‎ ‎【名师点睛】本题将线性规划问题与向量知识综合在一起进行考查，体现了知识间的交汇，考查了学生灵活运用知识解题的能力.线性规划还可能与函数、不等式、程序框图等知识进行交汇，平时注意多练习.‎ ‎1．执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为 A． B． C． D． ‎2．若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为 A． B．1 C． D．2‎ ‎1．C 【解析】题中程序执行以下运算：已知，求的最大值.‎ 作出表示的平面区域，如图中阴影部分所示.‎ 由图可知，当时，取得最大值，为.故选C.‎ ‎2．B 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示：‎ 所以，若直线上存在点满足约束条件，‎ 则，即.‎ 故实数的最大值为1.‎ ‎10月26日 简单的线性规划问题 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（2014·安徽理科）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为 A．或1 B． C．2或1 D． ‎【参考答案】D ‎【试题解析】作出约束条件表示的可行域，如下图中阴影部分所示：‎ 将化成斜截式为，要使取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合.‎ 当与直线重合时，；当与直线重合时，.‎ 所以或.‎ ‎【名师点睛】（1）对于线性规划中含有参数的问题，关键是弄清楚参数的几何意义，运用数形结合思想求解参数的值.‎ ‎（2）最优解不唯一或者有无穷多个，是指目标函数所对应的直线与约束条件中二元一次不等式所表示的边界直线重合.最优解只有一个，则意味着目标函数所对应直线的斜率介于两条直线的斜率之间，此时解相应的不等式即可获解.‎ ‎1．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数取得最小值时的唯一最优解是（1，3），则实数的取值范围为 A． B． C． D． ‎2．设，在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ，目标函数的最小值为 ．‎ ‎3．已知，，求的取值范围.‎ ‎1．A 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 由得，即直线的截距最小，z也最小．‎ 平移直线，要使目标函数取得最小值时的唯一最优解是（1，3），‎ 即直线经过点时，截距最小.‎ 由图可知，阴影部分必须在直线的右上方，‎ 此时只要满足直线的斜率a小于直线的斜率即可，‎ 由直线的方程为，即，知直线的斜率为，则．‎ 故a的取值范围是.故选A.‎ ‎2．3， 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示：‎ 其中,作直线，并且进行平移，‎ 当过点A时，目标函数取得最大值，则，解得.‎ 作直线并且平移，当过点时，目标函数取得最小值，为．‎ ‎3．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：‎ 由图可知，当直线系过点、时，分别取得最大值和最小值.‎ 由解得；‎ 由解得.‎ 则，，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎10月27日 利用基本不等式比较大小 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆‎ ‎（2015·陕西理科）设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由题意知，，‎ ，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．‎ 本题通过判断和的大小关系，并利用基本初等函数的单调性比较大小．‎ ‎1．若，，，， 则 A． 　　 B． C． 　　　 D． ‎2．已知是不相等的正数，，，则的关系是 A． B． C． D． ‎1．B 【解析】∵，∴,且,‎ ‎∴，即.故选B.‎ ‎2．B 【解析】，，所以，故选B.‎ ‎10月28日 利用基本不等式求最值 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆‎ 求解下列问题：‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）已知，求函数的最大值．‎ ‎【参考答案】（1）4；（2）．‎ ‎【试题解析】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号．故．‎ ‎（2），，‎ ，‎ 当且仅当，即时取等号．故．‎ ‎【解题必备】（1）利用基本不等式求最值时，通过变形、配凑，使“和”或“积”为定值，创设应用基本不等式的条件.‎ ‎（2）注意“一正，二定，三相等”，及等号成立的条件.‎ ‎（3）基本不等式的几种变形也常用到，需掌握，如：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ ‎1．若正实数a，b满足，则 A．有最大值4‎ B．ab有最小值 C．有最大值 ‎ D．有最小值 ‎2．已知，且.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）求的最小值，并求出、相应的取值.‎ ‎1．C 【解析】由基本不等式，得，所以，故B错；‎ ，故A错；‎ 由基本不等式，得，即，故C正确；‎ ，故D错，故选C.‎ ‎2．【解析】（1）由，，得，即.‎ 等号成立的充要条件是且，即，故的最小值为2.‎ ‎（2）.‎ 等号成立的充要条件是且，即.‎ 故的最小值为，此时．‎ ‎10月29日 利用基本不等式证明不等式 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（1）已知，证明：.‎ ‎（2）已知均为正数，且，证明：.‎ ‎【参考答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【试题解析】（1） ，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2） ，即，当且仅当时，等号成立.‎ ‎【解题必备】利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等号能否取到.‎ ‎1．已知均为正实数，且，求证：．‎ ‎2．已知是全不相等的正实数，求证：.‎ ‎1．【解析】因为均为正实数，且，‎ 所以 ，当且仅当时，等号成立.‎ ‎2．【解析】∵全不相等，∴与，与，与全不相等，‎ ‎∴，‎ 三式相加，得，‎ 则，‎ 即.‎ ‎　　　　 10月30日 基本不等式与其他知识的综合 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ ‎（2014·江苏）若的内角满足，则的最小值是 .‎ ‎【参考答案】．‎ ‎【试题解析】由已知及正弦定理，可得，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎【名师点睛】在对基本不等式的考查中，更多地是将基本不等式作为工具来解题.本题将基本不等式与三角形的边角关系结合起来考查，体现了基本不等式的工具性作用.基本不等式还可与数列、向量等知识相结合，注意知识的灵活运用.‎ ‎1．已知，.若是与的等比中项，则的最小值为 A．8 B．4 C．1 D．2‎ ‎2．已知、为正实数，向量，若，则的最小值为______．‎ ‎1．B 【解析】由题意得，所以，‎ 则（当且仅当时等号成立），即最小值为4．‎ 故选B．‎ ‎2． 【解析】由，得，即，‎ 则=，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 故的最小值为.‎ ‎10月31日 基本不等式 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆‎ 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．‎ ‎【参考答案】（1），；（2）隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元.‎ ‎【试题解析】（1）当时，，则，故，‎ 则.‎ ‎（2），‎ 设，则． ‎ 当且仅当，即时，等号成立.这时，因此的最小值为70．‎ 即隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式解决实际应用问题通常出现在求最值的题目中，一般先根据题意正确地列出函数关系式，然后尽量化为类似基本不等式的形式，最后应用基本不等式求解.解题的关键是化为类似基本不等式的形式，求解时注意基本不等式成立的条件.‎ ‎1．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎2．已知正数满足,求的最小值有如下解法：‎ ‎∵且，∴ ，‎ ‎∴.‎ 判断以上解法是否正确，并说明理由.若不正确，请给出正确解法.‎ ‎1．A 【解析】原不等式可化为，‎ 令，则，‎ 当且仅当，即时，取最小值6.‎ 因此要使不等式恒成立，应满足，解得．‎ ‎2．【解析】题中解法错误.‎ 理由：∵，当且仅当时取到等号，‎ ，当且仅当时取到等号，‎ 以上两个不等式不能同时取到等号，因此不成立.‎ 正确解法：，‎ 当且仅当，，即时，取到等号，‎ 故.‎