数学卷·2018届安徽省蚌埠市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届安徽省蚌埠市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．（不用答题卡的，填在下面相应的答题栏内，用答题卡的不必填 ‎1．命题“”的否定是（　　）‎ A．不存在 B．∀x∈R，2x＞0‎ C．． D．∀x∈R，2x≤0‎ ‎2．点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（　　）‎ A．（1，﹣4） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）‎ ‎3．若直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（　　）‎ A． B．5 C． D．25‎ ‎4．抛物线y=﹣3x2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列命题中不正确的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面 γ，平面β⊥平面 γ，α∩β=l，那么l⊥γ B．如果平面α⊥平面 β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面 β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β ‎6．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB∥CD，A1B1==1，则原平面图形ABCD的面积是（　　）‎ A．14． B．7 C． D．‎ ‎7．下列命题正确的是（　　）‎ A．命题“”的否定是“”‎ B．“函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为 π”是“a=2”的必要不充分条件 C．x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立 D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”‎ ‎8．圆与圆的公切线有（　　）‎ A．.1条 B．.2条 C．.3条 D．.4条 ‎9．一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（　　）‎ A．12π B．9π C． D．‎ ‎10．已知，若⊥，则实数 λ等于（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．‎ ‎11．已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（　　）‎ A． B． C．2S0=S1+S2 D．S02=2S1S2‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．‎ ‎13．经过两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，且垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为　　．‎ ‎14．已知f（x）=x2+2x﹣m，如果f（1）＞0是假命题，f（2）＞0是真命题，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|的值为　　．‎ ‎16．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且 DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线 PD，PC与平面α所成角相等，则二面角 P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤 ‎17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2，求a的值．‎ ‎18．已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上 ‎（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．‎ ‎19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上 ‎（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（﹣1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4．动点G的轨迹与过点C（0，﹣1）且斜率为k的直线交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．‎ ‎21．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．‎ ‎（1）求证：DC1⊥平面BCD；‎ ‎（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．‎ ‎22．已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．‎ ‎（Ⅰ）求证：点A，B，C共线；‎ ‎（Ⅱ）若，当时，求动点Q的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．（不用答题卡的，填在下面相应的答题栏内，用答题卡的不必填 ‎1．命题“”的否定是（　　）‎ A．不存在 B．∀x∈R，2x＞0‎ C．． D．∀x∈R，2x≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可 ‎【解答】解：∵命题“”是一个特称命题 ‎∴命题“”的否定是“对任意的x∈R，2x＞0”‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（　　）‎ A．（1，﹣4） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（﹣4，﹣1）‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】点（x，y）关于y=﹣x的对称点为（﹣y，﹣x）即可求出答案．‎ ‎【解答】解：点P（1，4）关于直线y=﹣x的对称点的坐标是（﹣4，﹣1），‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．若直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（　　）‎ A． B．5 C． D．25‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．‎ ‎【解答】解：由（x﹣4）2+y2=r2（r＞0），可知圆心坐标为（1，0），半径为r，‎ ‎∵直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，‎ 由圆心到直线的距离d==，‎ 可得圆的半径为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．抛物线y=﹣3x2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的标准方程可得，进而得到准线方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y=﹣3x2得x2=﹣，∴=．‎ 可得准线方程是y=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中不正确的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面 γ，平面β⊥平面 γ，α∩β=l，那么l⊥γ B．如果平面α⊥平面 β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面 β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A，利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；B，注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；C，反证法即可获得解答；D，结合实物举反例即可．‎ ‎【解答】解：对于A，如图，‎ 设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，‎ 所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，‎ 所以l⊥γ．所以正确．‎ 对于B，结合正方体，侧面垂直底面，侧棱所在直线就与底面平行，故正确；‎ 对于C，假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故正确；‎ 对于D，命如果点取在交线上，垂直于交线的直线不在α内，此垂线不垂直于β，故错．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB∥CD，A1B1==1，则原平面图形ABCD的面积是（　　）‎ A．14． B．7 C． D．‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．‎ ‎【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，‎ 直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，‎ 从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，‎ 直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=3，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=3，‎ 即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图．‎ 故其面积S=（3+4）×2=7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．下列命题正确的是（　　）‎ A．命题“”的否定是“”‎ B．“函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为 π”是“a=2”的必要不充分条件 C．x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立 D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，命题“”的否定是“∀x0∈R，x02+1≤3x0“；‎ B，由函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为 π”⇒“a=±2；‎ C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上有解，而（x2+2x）min=3＜2xmax=4；‎ D，当“•＜0”时，平面向量与的夹角是钝角或平角．‎ ‎【解答】解：对于A，命题“”的否定是“∀x0∈R，x02+1≤3x0“，故错；‎ 对于B，由函数f（x）=cosax﹣sinax的最小正周期为 π”⇒“a=±2，故正确；‎ 对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上有解，而（x2+2x）min=3＜2xmax=4，∴故错；‎ 对于D，当“•＜0”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，∴“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“•＜0”，故错．‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．圆与圆的公切线有（　　）‎ A．.1条 B．.2条 C．.3条 D．.4条 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．‎ ‎【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，1；‎ 两圆圆心距离： =＞2+1，说明两圆相离，‎ 因而公切线有四条．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（　　）‎ A．12π B．9π C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O为球心，求出半径，即可得到体积．‎ ‎【解答】解：一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，‎ PC的中点为O，连接OA，OB，‎ 由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，‎ AB⊥BC，‎ 可得BC⊥平面PAB，‎ 即有BC⊥PB，‎ 可得OA=OB=OC=OP，‎ 即O为球心，半径为，‎ 则球的体积为V=π•（）3=4π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知，若⊥，则实数 λ等于（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量垂直的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎⊥，‎ ‎∴=8+2﹣3λ=0，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，，则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，2c′=4，2a′=5﹣，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，2c′=4，2a′=5﹣，‎ ‎∴e==5+，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（　　）‎ A． B． C．2S0=S1+S2 D．S02=2S1S2‎ ‎【考点】棱台的结构特征．‎ ‎【分析】不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质，能求出结果．‎ ‎【解答】解：不妨设这个棱台为三棱台，设棱台的高为2h，上部三棱锥的高为a，‎ 则根据相似比的性质，得：‎ ‎，‎ 解得=+．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在题中横线上．‎ ‎13．经过两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点，且垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为　3x+2y+1=0　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】联立，求出两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+‎ ‎1=0的交点，设垂直于直线2x﹣3y+4=0直线方程为3x+2y+c=0，把交点坐标代入，能求出结果．‎ ‎【解答】解：联立，得，‎ ‎∴两条直线2x﹣y+3=0和4x+3y+1=0的交点为（﹣1，1），‎ 设垂直于直线2x﹣3y+4=0的直线方程为3x+2y+c=0，‎ 把（﹣1，1）代入，得﹣3+2+c=0，解得c=1，‎ ‎∴所求直线方程为3x+2y+1=0．‎ 故答案为：3x+2y+1=0．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=x2+2x﹣m，如果f（1）＞0是假命题，f（2）＞0是真命题，则实数m的取值范围是　[3，8）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由f（1）＞0是假命题得到f（1）≤0，结合f（2）＞0，解不等式组求m 的范围．‎ ‎【解答】解：依题意，即，解得3≤m＜8．‎ 故答案为：[3，8）‎ ‎　‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|的值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1，从而求出△ABF2面积，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，a=2‎ ‎，b=2，c=2，‎ 过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，‎ ‎△ABF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△ABF2内切圆半径r=1．‎ ‎△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=4，‎ ‎∴ABF2面积S=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×2=4，‎ ‎∴|y1﹣y2|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且 DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一动点，且直线 PD，PC与平面α所成角相等，则二面角 P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是　　．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】∠PBA为所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出=，求出P在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出∠PBA的最大值对应的余弦值．‎ ‎【解答】解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD⊂β，‎ ‎∴AD⊥α，同理：BC⊥α．‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，‎ ‎∠CPB为直线PC与平面α所成的角，‎ ‎∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°‎ ‎∴△DAP∽△CPB，‎ ‎∴=．‎ 在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），（y＞0）‎ ‎∴2=，整理得（x+）2+y2=，‎ ‎∴P点在平面α内的轨迹为以M（﹣，0）为圆心，以为半径的上半圆．‎ ‎∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣D的平面角．‎ ‎∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．‎ 此时PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．‎ cos∠PBA==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出说明文字、演算式、证明步骤 ‎17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．‎ ‎（1）若l1⊥l2，求a的值；‎ ‎（2）若l1∥l2，求a的值．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．‎ ‎（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，‎ 解得a=．‎ ‎∴a=．‎ ‎（2）∵a=1时，l1不平行l2，‎ ‎∴l1∥l2⇔，‎ 解得a=﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．已知圆心为C的圆过点A（﹣2，2），B（﹣5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上 ‎（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（﹣2，9）作圆的切线，求切线方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后把A和B的坐标代入到圆方程中得到①和②，又因为圆心在直线x+y+3=0上，所以代入得到③，联立①②③，求出a，b，r的值即可得到圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（﹣2，9）作圆的切线的切线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得 ‎（﹣2﹣a）2+（2﹣b）2=r2，①‎ ‎（﹣5﹣a）2+（5﹣b）2=r2，②‎ a+b+3=0，③‎ 联立①，②，③，解得a=﹣5，b=2，r=3．‎ 所以所求圆的标准方程为（x+5）2+（y﹣2）2=9．‎ ‎（Ⅱ）直线的斜率存在时，设方程为y﹣9=k（x+2），即kx﹣y+2k+9=0，‎ 圆心C（﹣5，2）到切线的距离d==3，∴k=，‎ ‎∴直线方程为20x﹣21y+229=0，‎ 直线的斜率不存在时，即x=﹣2也满足题意，‎ 综上所述，所求切线方程为x=﹣2或20x﹣21y+229=0．‎ ‎　‎ ‎19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上 ‎（Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明．‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）M是PC中点时，AC与BD的交点O是AC的中点，从而OM∥‎ PA，由此能证明AP∥平面MBD．‎ ‎（Ⅱ）推导出PD⊥AD，AD⊥BD，PD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）M是PC中点时，AP∥平面MBD．‎ 证明：∵底面ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AC与BD的交点O是AC的中点，‎ 又M是PC的中点，∴OM∥PA，‎ ‎∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，‎ ‎∴AP∥平面MBD．‎ 证明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，‎ 又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥BD，‎ ‎∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（1，0）、（﹣1，0），动点G满足：直线GE与直线FG的斜率之积为﹣4．动点G的轨迹与过点C（0，﹣1）且斜率为k的直线交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若线段AB中点的横坐标为4 求k的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设动点G的坐标（x，y），求出直线EG的斜率，直线FG的斜率，利用已知条件求解即可．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1，消y整理可得（k2+4）x2﹣2kx﹣3=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知E（1，0），F（﹣1，0），设动点G的坐标（x，y），‎ ‎∴直线EG的斜率k1=，直线FG的斜率k2=，（y≠0），‎ ‎∵k1•k1=﹣4，‎ ‎∴•=﹣4，‎ 即x2+=1，（y≠0），‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx﹣1代入到x2+=1，‎ 消y整理可得（k2+4）x2﹣2kx﹣3=0，‎ 则△=4k2+12（4+k2）＞0，‎ 则x1+x2=，‎ 由=（x1+x2）=，‎ 解得k=2．‎ ‎　‎ ‎21．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．‎ ‎（1）求证：DC1⊥平面BCD；‎ ‎（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．‎ ‎（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的大小．‎ ‎【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．‎ 由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、‎ D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．‎ ‎∴=（﹣2，0，2），，．‎ ‎∵=0，．‎ ‎∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．‎ 又∵DC∩DB=D，‎ ‎∴DC1⊥平面BDC．‎ ‎（2）解：设是平面ABD的法向量．‎ 则，‎ 又，，‎ ‎∴，取y=1，得=（1，1，0）．‎ 由（1）知， =（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，‎ 记与的夹角为θ，‎ 则cosθ==﹣，‎ 结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，‎ ‎∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．‎ ‎　‎ ‎22．已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．‎ ‎（Ⅰ）求证：点A，B，C共线；‎ ‎（Ⅱ）若，当时，求动点Q的轨迹方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my﹣4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点（4，0）．‎ ‎（Ⅱ）当时，建立方程，即可求动点Q的轨迹方程．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，‎ 得y2﹣4my﹣4b=0，‎ 则y1+y2=4m，y1y2=﹣4b，‎ ‎∵OA⊥OB，∴kOA•kOB===﹣=﹣1，b=4．‎ 于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0），即点A，B，C共线；‎ ‎（Ⅱ）解：由题意，Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，∠CQO=90°．‎ 设Q（x，y），则=（x，y），=（x﹣4，y），‎ ‎∴x（x﹣4）+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．‎ ‎　‎ ‎2017年1月28日