全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
一、选择题
1、已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点。若的值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是
A．(1,+∞) B．(0,3] C．(1,3] D．(1,2]
2、在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。则四面体ABCD的体积等于
A． B． C． D．
3、有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为
A．90 B．100 C．110 D．120
4、在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则
A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形
B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形
C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形
D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形
5、已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为
A．8 B．9 C．10 D．11
6、设0
0，且a2008+b2008=a2006+b2006。则a2+b2的最大值是
A．1 B．2 C．2006 D．2008
8、设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。则ΔABP的面积与ΔABC的面积之比等于
A． B． C． D．
9、已知a,b,c,d是偶数，且00，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm为方向向量的直线相交于点P，其中，λ∈R。则点P的轨迹方程为_________.
三、解答题
17、 已知椭圆长轴端点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0，。
（1）求椭圆长轴长的取值范围；
（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程。
18、 甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。
19、 设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量
，且m•n=.
(1)求证：tanA•tanB=；
(2)求的最大值。
20、 ΔABC的内切圆⊙I分别切BC，CA于点D，E，直线BI交DE于点G。求证：AGBG.
21、 设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD的两个顶点A，B在x轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。
以下是答案
一、选择题
1、C． 根据双曲线的定义有
|PF2|-|PF1|=2a,
|PF1|+4a+
当且仅当，即|PF1|=2a时，上式等号成立。
设点P(x,y)(-x≥a)，由双曲线第二定义得|PF1|=-ex-a≥c-a，即2a≥c-a.
于是 又e>1，故10，所以cos(A-B)=1.
故∠A=∠B。
另一方面，∠A=∠B=300，∠C=1200也符合已知条件。
所以，ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。
5、A． 设g(x)的各项系数和为s，则
f(g(1))=3s2-s+4=188.
解得s=8或（舍去）。
6、B． ••
当时，取得最小值(a+b)2.
7、B． 因为a2008+b2008≥a2006b2+b2006a2,
又(a2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a2≤2(a2008+b2008),
且a2008+b2008=a2006+b2006,
所以a2+b2≤2.
8、C． 延长AP到E，使得AP=AE。
联结BE，作ED//BA交AC延长线于点D。由，得AC=CD。故四边形ABED是平行四边形。
所以
又，则
9、D． 设a,b,c,d分别为b-m,b,b+m,
又，则 ①
因a,b,c,d为偶数，且00（因(a+b>1）
由韦达定理知y
消去y1得，即0
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