数学文卷·2018届湖北省宜昌市第一中学高二下学期期末考试（2017-06）

数学文卷·2018届湖北省宜昌市第一中学高二下学期期末考试（2017-06）

宜昌市第一中学 2017 年春季学期高二年级期末考试 文科数学试题 全卷满分150分 考试用时120分钟 命题人：钟卫华 审题人： 肖华 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ） A． B． C． D． 3．函数 定义在 上.则“曲线 过原点”是“ 为奇函数”的（ ） 条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D． 既不充分又不必要 4．命题 的否定是（ ） A． B． C． D． 5．函数 ，在定义域内任取一点 ，使 的概率是 （　　）. A． B． C． D． 6．宜昌一中为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 列联表进行独立性检验，经计算 ，则有多大的把握认为“学生性别与支持该活 动”有关系（ ） A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 附： 0．100 0.050 0.025 0.010 0.001 { } { }21,0,1,2,3 , 2 3 0A B x x x= − = − − < A B = { }1,0,1,2− { }0,1,2 { }0,1,2,3 { }1,0,1,2,3− i z z zi i− = z z = 1 1 2 2 i+ 1 i− − 1 1 2 2 i− − 1 i+ )(xf ),( +∞−∞ )(xfy = )(xf ,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R ,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≤R 0 0 0,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R 0 0 0,e 1 0xx x∃ ∈ − − ≤R 0 0 0,e 1 0xx x∃ ∈ − − > 2 2y x= ± 3 2 2 2 2 3 5 2017 2018 2 2 ( 0)y px p= > ( 4,0)C − ,CA CB ,A B AB 2 2y px= CAB∆ 24 AB 2 4y x= 2 4y x= − 2 8y x= 2 8y x= − （1）由每公里的平均心率得知张老师最高心率为 188；（2）张老师此次路跑，每步距离的 平均小于 1 米；（3）每公里完成时间和每公里平均心率的相关系数为正；（4）每公里步数 和每公里平均心率的相关系数为正；（5）每公里完成时间和每公里步数的相关系数为负． A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（5） D． （2）（4）（5） 12． 若函数 在 单调递增,则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知 、 取值如下表: 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得的散点图分析可知: 与 线性相关,且 ,则 ． 14．从圆 外一点 向这个圆作切线，切点为 ，则切线段 ． 15 ． 已 知 若 ， 则 ． 16 ． 已 知 函 数 ， 对 任 意 的 ， 不 等 式 恒成立，则实数 的取值范围为_____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 的 参 数 方 程 为 ( ， 为 参 数 ) ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值. xx aeexxf ++= 2 3 1)( ),( +∞−∞ a ),3 62[ +∞− ),3 62[ +∞ ]3 62,3 62[− )3 62,3 62(− x y x y y x ˆ 0.95y x a= + a = 2 22 2 1 0x x y y− + − + = ( )3,2P Q =PQ ( ) , 0,1 xf x xx = ≥+ * 1 1( ) ( ), ( ) ( ( )),n nf x f x f x f f x n N+= = ∈ 2017 ( )f x = 2( ) ln ( 0 1)xf x a x x a a a= + − > ≠且 1 2, [0,1]x x ∈ 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x a− ≤ − a xOy O x 1C 2 cos 2sin x y α α  = = Rα ∈ α 2C 2 cos sin 3 2 0ρ θ ρ θ− − = 1C 2C P 1C Q 2C PQ 18．（本小题满分 12 分）已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若关于的不等式 恒成立，求实数的取值范围. 19.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 及其上 一点 . （1）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程； 20.（本小题满分 12 分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的 难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 120 名学生进行 一次测试，共 5 道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示 答对，“×”表示答错）： 学 生 编 号 题号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根据题中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表，并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； ( ) 2 3f x x x= + + − ( ) 6f x < ( ) 2 1f x a≥ + xOy M 2 2: 12 14 60 0M x y x y+ − − + = (2,4)A N x M N 6=x OA l M CB, OABC = l i i RP N = iP i iR N iP （3）定义统计量 ，其中 为第 题的实测难 度， 为第 题的预估难度 ．规定：若 ，则称该次测试的难度预估合理， 否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 21. (本小题满分 12 分) 已知点 关于直线 的对称点是 P，焦点在 x 轴上的椭圆经过点 P，且离 心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别交 椭圆于 A，B．探求直线 AB 是否过定点，如果经过请求出定点的坐标，如果不经过定点，请 说明理由． 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求 在点 处的切线方程 ； （2）证明 ； （3）若方程 有两个正实数根 ，求证： . 宜昌市第一中学 2017 年春季高二年级期末考试 数学(文科)试题 命题人：钟卫华 审题人： 肖华 试卷满分： 150分 考试用时： 120分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 2 2 2 1 1 2 2 1[( ) ( ) ( ) ]n nS P P P P P Pn ′ ′ ′= − + − + + − iP′ i iP i ( 1,2, , )i n=  0.05S < 6 13( , )5 5Q − 2 1y x= + 2 3 NOOM = xexxxf )()( 2 −= )(xfy = ))1(,1( f )(xgy = )()( xgxf ≥ )()( Rmmxf ∈= 21, xx 121 ++<− me mxx 题目要求的。 1．已知集合 ，则 （ ） B A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ） C A． B． C． D． 3．函数 定义在 上.则“曲线 过原点”是“ 为奇函数”的（ ） 条件.B A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D． 既不充分又不必要 4．命题 的否定是（ ）D A． B． C． D． 5．函数 ，在定义域内任取一点 ，使 的概率是 （　　）.A A． B． C． D． 6．宜昌一中为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 列联表进行独立性检验，经计算 ，则有多大的把握认为“学生性别与支持该活 动”有关系（ ）C A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 附： 0．100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 7．设函数 ，则下列结论正确的是（ ）D A．函数 在 上单调递增 B．函数 在 上单调递减 C．函数 在 上单调递增 D．函数 在 上单调递减 { } { }21,0,1,2,3 , 2 3 0A B x x x= − = − − < A B = { }1,0,1,2− { }0,1,2 { }0,1,2,3 { }1,0,1,2,3− i z z zi i− = z z = 1 1 2 2 i+ 1 i− − 1 1 2 2 i− − 1 i+ )(xf ),( +∞−∞ )(xfy = )(xf ,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R ,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≤R 0 0 0,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R 0 0 0,e 1 0xx x∃ ∈ − − ≤R 0 0 0,e 1 0xx x∃ ∈ − − > 2 2y x= ± 3 2 2 2 2 3 5 2017 2018 2 2 ( 0)y px p= > ( 4,0)C − ,CA CB ,A B AB 2 2y px= CAB∆ 24 AB 2 4y x= 2 4y x= − 2 8y x= 2 8y x= − 12． 若函数 在 单调递增,则 的取值范围是（ ）A A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知 、 取值如下表: 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得的散点图分析可知: 与 线性相关,且 ,则 ．1.45 14．从圆 外一点 向这个圆作切线，切点为 ，则切线段 ．2 15 ． 已 知 若 ， 则 ． 16 ． 已 知 函 数 ， 对 任 意 的 ， 不 等 式 恒成立，则实数 的取值范围为_____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 的 参 数 方 程 为 ( ， 为 参 数 ) ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值. xx aeexxf ++= 2 3 1)( ),( +∞−∞ a ),3 62[ +∞− ),3 62[ +∞ ]3 62,3 62[− )3 62,3 62(− x y x y y x ˆ 0.95y x a= + a = 2 22 2 1 0x x y y− + − + = ( )3,2P Q =PQ ( ) , 0,1 xf x xx = ≥+ * 1 1( ) ( ), ( ) ( ( )),n nf x f x f x f f x n N+= = ∈ 2017 ( )f x = 1 2017 x x+ 2( ) ln ( 0 1)xf x a x x a a a= + − > ≠且 1 2, [0,1]x x ∈ 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x a− ≤ − a [e, )+∞ xOy O x 1C 2 cos 2sin x y α α  = = Rα ∈ α 2C 2 cos sin 3 2 0ρ θ ρ θ− − = 1C 2C P 1C Q 2C PQ 【解析】(1)由 消去参数 ，得曲线 的普通方程为 由 得 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ………4 分 (2)设 ，则点 到曲线 的距离为 当 时， 有最小值 ，所以 的最小值为 .…………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若关于的不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（Ⅰ）不等式 ，即 ，可化为 ① 或② 或③ 解①得 ，解②得 ，解③得 ， 综合得 ，即原不等式的解集为 ． ………………………6 分 （Ⅱ）因为 ， 当且仅当 时，等号成立，即 ， 又关于的不等式 恒成立，则 ， 2 cos 2sin x y α α  = = α 1C 2 2 12 4 x y+ = 2 cos sin 3 2 0ρ θ ρ θ− − = 2C 2 3 2 0x y− − = ( )2 cos ,2sinP α α P 2C 2 2 cos 3 2 3 2 2 2 cos2cos 2sin 3 2 4 4 1 2 3 3 d π πα αα α    + − − +   − −    = = = + cos 14 πα + =   d 6 3 PQ 6 3 ( ) 2 3f x x x= + + − ( ) 6f x < ( ) 2 1f x a≥ + ( ) 6f x < 2 3 6x x+ + − < ( ) ( ) 2,{ 2 3 6 x x x ≤ − − + − − < ( ) ( ) 2 3,{ 2 3 6 x x x − < < + − − < ( ) ( ) 3,{ 2 3 6. x x x ≥ + + − < 5 22 x− < ≤ − 2 3x− < < 73 2x≤ < 5 7 2 2x− < < 5 7{ | }2 2x x− < < ( ) 2 3f x x x= + + − ≥ ( ) ( )2 3 5x x+ − − = 2 3x− ≤ ≤ ( )min 5f x = ( ) 2 1f x a≥ + 2 1 5a + ≤ 解得 ，即实数的取值范围为 .…………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 : 及其 上一点 . （1）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程； 【解析】圆 M 的标准方程为 ，所以圆心 M(6，7)，半径为 5， （1）由圆心 N 在直线 x=6 上，可设 .因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 ，于是圆 N 的半径为 ，从而 ，解得 . 因此，圆 N 的标准方程为 . ………………………6 分 (2)因为直线 l∥OA，所以直线 l 的斜率为 . 设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 因为 而 所以 ，解得 m=5 或 m=-15. 故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0. …………………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题．测试前根据 对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 3 2a− ≤ ≤ [ 3,2]− xOy M M 2 2 12 14 60 0x y x y+ − − + = )4,2(A N x M N 6=x OA l M CB, OABC = l ( ) ( )2 26 7 25x y− + − = ( )06,N y 00 7y< < 0y 0 07 5y y− = + 0 1y = ( ) ( )2 26 1 1x y− + − = 4 0 22 0 − =− 2 6 7 5 . 5 5 m md × − + += = 2 22 4 2 5,BC OA= = + = 2 2 2 ,2 BCMC d= +（ ） ( )2525 55 m += + i i RP N = iP i iR N 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示 答对，“×”表示答错）： 学 生 编 号 题号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根据题中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表， 并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； （3）定义统计量 ，其中 为第 题的实测难 度， 为第 题的预估难度 ．规定：若 ，则称该次测试的难度预估合理， 否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 【解析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 所以，估计 120 人中有 人答对第 5 题． …………………4 分 （2）记编号为 的学生为 ， 从这 5 人中随机抽取 2 人，不同的抽取方法有 10 种． 其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为 ， ， ， ， ， ，共 6 种． 所以，从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生，恰好有 1 人答对第 5 iP 2 2 2 1 1 2 2 1[( ) ( ) ( ) ]n nS P P P P P Pn ′ ′ ′= − + − + + − iP′ i iP i ( 1,2, , )i n=  0.05S < 120 0.2 24× = i ( 1,2,3,4,5)iA i = 1 2( , )A A 1 3( , )A A 1 4( , )A A 2 5( , )A A 3 5( , )A A 4 5( , )A A 题 的 概 率 为 ． …………………8 分 （3） 为抽样的 10 名学生中第 题的实测难度，用 作为这 120 名学生第 题的实测难度． ． 因为 ， 所以，该次测试的难度预估是合理的． …………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 已知点 关于直线 的对称点是 P，焦点在 x 轴上的椭圆经过点 P，且离 心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别 交椭圆于 A，B．探求直线 AB 是否过定点，如果经过请求出定点的坐标，如果不经过定点， 请说明理由． 【解析】（Ⅰ）易求得 P（2，1），由椭圆的离心率 e= = = ，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆 ，则 ，解得：b2=2，则 a2=8， ∴椭圆的方程为： ； ………………………6 分 （Ⅱ）当 M，N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点 一点在 y 轴上， 当 M，N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 6 3 10 5P = = iP′ i iP′ i 2 2 2 2 21[(0.8 0.9) (0.8 0.8) (0.7 0.7) (0.7 0.6) (0.2 0.4) ]5S = − + − + − + − + − 0.012= 0.012 0.05S = < 6 13( , )5 5Q − 2 1y x= + 2 3 NOOM = 由 ，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，· 则△=16（8k2﹣t2+2）＞0， x1+x2=﹣ ，x1x2= ， 又直线 PA 的方程为 y﹣1= （x﹣2），即 y﹣1= （x﹣2）， 因此 M 点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ）， 由 = ，则 + =0， 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 则（2﹣4k）× ﹣（2﹣4k+2t）（﹣ ）+8t=0， 化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，· 当且仅当 t=﹣2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，﹣2）…………12 分 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求 在点 处的切线方程 ； （2）证明 ； （3）若方程 有两个正实数根 ，求证： . 【解析】（1） ， ， 所以在点 处的切线方程为： ……………………3 分 （2）设 ，则 xexxxf )()( 2 −= )(xfy = ))1(,1( f )(xgy = )()( xgxf ≥ )()( Rmmxf ∈= 21, xx 121 ++<− me mxx xexxxf )1()( 2 −+=′ ef =′ )1( 0)1( =f )0,1( )1( −= xey )()()( xgxfxh −= eexexxxh x +−−= )()( 2 再令 ，令 得 或 故 在 单调递增，在 单调递减. 而 所以 在 单调递减，在 单调递增. 所以 ，故 总成立， 所以 成立. …………………………8 分 （3）因为曲线 在 处的切点方程为 ， 容易证明，当 时， 由第（1）问知 ， 设 分别与 和 的两个交点的横坐标为 则 ， 所以 …………12 分 43 , xx eexxxh x −−+=′ )1()( 2 )()( xhxm ′= xexxxm )3()( 2 +=′ 0)( =′ xm 3−=x 0=x )(xhy ′= ),0(),3,( +∞−−∞ )0,3(− 0)1(,05)3( 3 =′<−=−′ heeh )(xhy = )1,(−∞ ),1( +∞ 0)1()( min == hxh 0)( ≥xh )()( xgxf ≥ )(xfy = 0=x xy −= 0≥x xexx x −≥− )( 2 )1()( 2 −≥− xeexx x my = xy −= )1( −= xey 4213 xxxx <<< me mxxxx ++=−<− 13421