2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（新版）人教版

2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（新版）人教版

‎2019学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1. 设集合，，若，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，集合A={x||x-2|＜1}={x|1＜x＜3}，∵集合B={x|x＜m}，A⊆B ∴m≥3,∴m的取值范围是{m|m≥3} 故选A．‎ ‎2. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎..................‎ 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．‎ ‎ ‎ ‎3. 已知，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】则， ‎ 故选B.‎ ‎4. 下列说法正确的是 A. ，则的充分条件是 B. 若 ，则的充要条件是 C. 对任意，的否定是存在，‎ - 14 -‎ D. 是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，当a＜0时，由b2-4ac≤0不能得到f（x）≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”错误．‎ 对于B，若 m，k，n∈R，由mk2＞nk2的一定能推出m＞n，但是，当k=0时，由m＞n不能推出mk2＞nk2，故B错误，‎ 对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02＜0”，故C错误，‎ 对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，‎ 故选D.‎ ‎5. 体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.‎ ‎【考点】 正方体的性质，球的表面积 ‎【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.‎ ‎ ‎ ‎6. 设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.‎ 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.‎ ‎ ‎ ‎7. 已知为等差数列的前项和，若，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 14 -‎ ‎【解析】∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即4（a1+a9）=2a9，即4a5=a9，则 ‎ 故选C.‎ ‎8. 若执行右侧的程序框图，当输入的的值为时，输出的的值为，则空白判断框中的条件可能为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.‎ ‎9. 设函数，则是 A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数 - 14 -‎ f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，，显然f（0）＜f，函数是增函数，所以B错误，A正确．‎ 故选A．‎ ‎10. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示： 故其体积V，‎ 故选A.‎ ‎11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=PA＝2，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足AB＝2‎ - 14 -‎ ‎,∠ACB＝90°，∴D是AB中点，且AD=BD=CD=∴OD= ∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2,‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到的外接圆的圆心D即可有 OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点到底面的距离.‎ ‎12. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x-1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），联立 可得N（-1，2），NF的方程为：y=-（x-1），即 则M到直线NF的距离为：，‎ 故选D. ‎ 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线得出点M坐标，从而得出点N坐标是关键，注意计算的准确性.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知向量.若向量与垂直，则=_______________‎ ‎【答案】‎ - 14 -‎ ‎【解析】向量，， ,则,解得m=7,故填7.‎ ‎14. 若满足约束条件，则的最小值为 ______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15. 函数的最大值为___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎，∴当时，有最大值为4，故答案为4.‎ ‎16. 平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________‎ - 14 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,‎ 解方程组得：，所以点的坐标为,‎ 抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,‎ 所以，.‎ 所以，.‎ 考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.‎ 视频 三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题12分， 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 已知分别是内角的对边，‎ ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若角为锐角，求的值及的面积.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（I）由已知等式化简得：sin2A=6sin2C，结合sinA＞0，sinC＞0，可得sinA＝，进而可求sinA，由正弦定理可求a的值；‎ ‎（II）由同角三角函数基本关系式可求cosA的值，由余弦定理得b2-2b-15=0，解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ 试题解析：‎ ‎（I）由 得 化简得： ‎ 均为三角形内角，‎ ‎，‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 又因为，‎ 所以． 结合已知，‎ 由正弦定理，得． ‎ ‎（II）由得． ‎ 由余弦定理，得．‎ 解得或（舍负）． 所以．‎ ‎18. 为数列的前项和，已知，.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ 试题解析：（1）由，可知，‎ 可得，即 ‎，‎ 由于，可得．‎ 又，解得（舍去），．‎ 所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为 ‎（2）由可知，‎ - 14 -‎ ‎．‎ 设数列的前项和为，则 考点：等差数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎19. 某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；‎ ‎（II）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；‎ ‎（III）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎【答案】（1）0.4（2）20（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由频率分布直方图知，‎ 分数在的频率为，‎ 分数在的频率为，‎ - 14 -‎ 则分数小于70的频率为，‎ 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为.‎ ‎(2)由频率分布直方图知，‎ 样本中分数在区间的人数为(人)，‎ 已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 所以样本中分数在区间内的人数为(人)，‎ 设总体中分数在区间内的人数为，‎ 则，得，‎ 所以总体中分数在区间内的人数为20人.‎ ‎(3)由频率分布直方图知，‎ 分数不小于70的人数为(人)，‎ 已知分数不小于70的男女生人数相等，‎ 故分数不小于70分的男生人数为30人，‎ 又因为样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为：，‎ 即女生的频率为：，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为：.‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，，，，.设分别为的中点.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的平面角的余弦值.‎ - 14 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明，推出平面，证明，即可证明平面，然后证明平面平面；（2）以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面角的平面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）证明：∵、分别为，的中点， 则．又∵平面，平面，∴平面．在中，，，∴，又∵，∴．∵平面，平面，∴平面，又∵，∴平面平面． ‎ ‎（2）∵平面，∴平面平面，又∵，平面平面，∴平面，‎ 如图，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，设是平面的法向量，则，即，可取，又平面的法向量为，∴‎ - 14 -‎ ‎，由图可知，二面角的平面角为锐角，∴二面角的平面角的余弦值为． ‎ ‎21. 中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为.‎ ‎（I）求双曲线的方程；‎ ‎（II）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 存在， ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为 ，（a＞0，b＞0），则有c=，，c2=a2+b2，解得即可; （Ⅱ）由 得（2-k2）x2+2kx-2=0，根据韦达定理和向量的数量积得出关于k的方程，即可求出k的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有 得，所以双曲线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由得， ‎ 依题意有 解得且，① ‎ 且，， ‎ 设，，‎ 依题意有，所以， ‎ - 14 -‎ 又， ‎ 所以，化简得， ‎ 符合①，所以存在这样的圆.‎ ‎22. 已知函数；‎ ‎（I）当时，求函数的最值；‎ ‎（II）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（I）化简函数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值；‎ ‎（II）由，得 利用换元法令，所以对恒成立.利用分类讨论①当时，；②当时，分离得，求右侧函数的最小值即得实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ 又在上单调递减，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ）由，得 令 所以对恒成立.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，，令 由于在递减，在递增.‎ 所以，则；‎ 综上知.‎ - 14 -‎ 点睛：本题考查不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，利用对数的运算性质对函数进行化简，采用换元法，把函数化繁为简，进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 14 -‎