数学理卷·2018届河南省鹤壁一中高二下学期第一次段考（2017-03）

数学理卷·2018届河南省鹤壁一中高二下学期第一次段考（2017-03）

鹤壁一中2016—2017学年下期高二第一次月考 数学（理）试卷 ‎（本科考试时间为120分钟，满分为150分）‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1、设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若是虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ） ‎ A.“若,则”类推出“若,则”‎ B.“若”类推出“”‎ C.“若” 类推出“ （c≠0）”‎ D.“” 类推出“”‎ ‎3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）‎ ‎（A）假设不都是偶数 （B）假设都不是偶数 ‎（C）假设至多有一个是偶数 （D）假设至多有两个是偶数 ‎4. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于( )‎ A．　 B． C． D．‎ ‎5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)‎ A．－1＜a＜1 B．0＜a＜‎2 ‎ C．－＜a＜ D．－＜a＜ ‎6. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（ ）‎ A.增加了一项 B.增加了两项 C.增加了两项，又减少了；‎ D.增加了一项，又减少了一项；‎ ‎7. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8. 函数的部分图像可能是( )‎ ‎ A B C D ‎9、如图,正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎10．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（　）‎ A. １ 　　 B. 　 C. 2 　 D. ‎ ‎11、若过点与曲线相切的直线有两条,则实数a的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12、设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ ）‎ A 、2008 B、 ‎2004 C、 2002 D 、2000‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 用火柴棒按下图的方法搭三角形：‎ 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是 .‎ ‎14．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数 ．‎ ‎15. 正项等比数列中的 ，是函数的极值点，则 . ‎ ‎16．仔细观察右面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 ________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）求证：当a、b、c为正数时，‎ ‎（2）已知 ‎18（本小题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,.设第（）行的第二个数为，‎ ‎（1）写出第7行的第三个数； （2）写出与的关系并求； ‎ ‎（3）设 证明： ‎ ‎19. （本小题满分12分）已知二次函数在处取得极值，且在点 处的切线与直线平行． (1）求的解析式；(2）求函数的单调递增区间及极值。（3）求函数在的最值。‎ ‎20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点. ‎ ‎(1) 求证：平面平面；‎ ‎(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过 ‎（1，1）与（）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M 满足|MA|=|MB|．求证：为定值．‎ ‎22. （本小题满分12分）设函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。‎ 高二下学期第一次月考 数学（理）参考答案 一、选择题 DCBAC CABCD AC 二、填空题 13. =2n+1 14. 1-i 15.1 16. 91‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：左边= ‎ 因为：a、b、c为正数 所以：左边 ‎ ‎ …………5分 ‎（2）证明：要证上式成立，需证 …………2分 ‎ 需证 ‎ 需证 …………6分 ‎ 需证 需证，‎ 只需证1>0 …………8分 因为1>0显然成立，所以原命题成立 …………10分 ‎（18）解析（1）第7行的第三个数为41；-------------------------------2分 ‎ （2）由已知得，-------------------------------------4分 ‎ ，‎ ‎ 又--------------------------------------------7分 ‎ （3）由（2）， ----9分 ‎----------------------------------------------------------12分 ‎19、(1)由,可得.由题设可得即 解得,.所以. (2)由题意得, 所以.令,得,.‎ ‎4/27‎ ‎0‎ 所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。在有极大值4/27。‎ ‎（3）由及（2），所以函数的最大值为2，最小值为0。‎ ‎20. 解析：(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，‎ ‎.（6分）‎ ‎(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，‎ 依题意知，，‎ 有 设平面的一个法向量，‎ 有代入得，‎ 设，有，平面的一个法向量，‎ 设平面与平面所成锐二面角大小为，有，‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）‎ ‎21.【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，‎ 得解得． ∴椭圆PM2的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ‎=．‎ 同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时 ‎=．‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），‎ 则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由解得，，‎ ‎∴=，同理，‎ 所以=2×+=2，‎ 故=2为定值．‎ ‎22解：（1）依题意，知的定义域为，‎ 当时，，‎ ‎………………………………………….2分 令，解得或（舍去），‎ 当时，；当时，，‎ 所以的单调增区间为，减区间为；…………….4分 ‎（2）由题意知，则有在(0,3)上恒成立，所以，当x0=1时，取得最大值，‎ 所以；………………………………………………………………………………8分 ‎（3）当时，，‎ 由，得，又，所以，‎ 要使方程在区间上有唯一实数解，‎ 只需有唯一实数解，……………………………………………10分 令，∴，由得；，得，‎ ‎∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎ ，故 . ……………………12分