2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-1 函数的概念及其表示（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-1 函数的概念及其表示（理科）

第二章 函数 第一节 函数的概念及其表示 题型 10 映射与函数的概念 1.（2015 浙江理 7） 存在函数 满足：对任意 都有（ ）． A. B. C. D. 1. 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值. 对 A，取 ，则当 时， ；当 时， .所以 A 错； 同理 B 错；对 C，取 ， 且 ，所以 C 错.故选 D. 题型 11 同一函数的判断——暂无 题型 12 函数解析式的求法 1. (2013 陕西理 10）设 表示不大于 的最大整数，则对任意实数 ，有（ ）. A. B. C. D. 2. （2014 湖北理 14）设 是定义在 上的函数，且 ，对任意 ， 若经过点 的直线与 轴的交点 ，则称 为 关于函数 的 平均数，记为 ，例如，当 时，可得 ，即 为 的算术平均数. 当 时， 为 的几何平均数； 当 时， 为 的调和平均数 ； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 3. （2014 陕西理 10）如图所示，某飞行器在 千米高空水平飞行，从距着陆点 的水平 距离 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 （ ）. O-5 5 2 -2 A 地面隧道 x y ( )f x x∈R (sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= + 2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = + sin 2 0x = 0x = ( )0 0f = π 2x = ( )0 1f = 1x = ± ( )2 2f = ( )2 0f = [ ]x x x y， [ ] [ ]x x− = − [ ] [ ]2 2x x= 4 [ ] [ ] [ ]x y x y+ +≤ [ ] [ ] [ ]x y x y− −≤ ( )f x ( )0,+∞ ( ) 0f x > 0, 0a b> > ( )( ) ( )( ), , ,a f a b f b x ( ),0c c ,a b ( )f x ( ),fM a b ( ) ( )1 0f x x= > ( ), 2f a bM a b c += = ( ),fM a b ba, ( ) ( )_____ 0f x x= > ( ),fM a b ba, ( ) ( )_____ 0f x x= > ( ),fM a b ba, ba ab + 2 4 A 10 A. B. C. D. 4.（2015 全国 II 理 5）设函数 ，则 （ ）． A. B. C. D. 4. 解析 由题意可得， .又由 ， 故有 ， 所以有 .故选 C. 5.（2016 上 海 理 5） 已 知 点 在 函 数 的 图 像 上 ， 则 的 反 函 数 . 5. 解析 由题意 .故 ，从而 ， 所以 .故 . 题型 13 函数定义域的求解 1. （2013 江西理 2）函数 的定义域为（ ）. A． B． C． D． 2.（2013 江苏理 11）已知 是定义在 上的奇函数.当 时， ，则不 等式 的解集用区间表示为 . 3. (2013 安徽理 17）设函数 ，其中 ，区间 . （1）求 的长度（注：区间 的长度定义为 ）； （2）给定常数 ，当 时，求 长度的最小值； 4.（2014 江西理 2） 函数 的定义域为（ ）. A. B. C. D. 5.（2014 江西理 3）已知函数 ， ，若 ， 31 3 125 5y x x= − 32 4 125 5y x x= − 33 125y x x= − 33 1 125 5y x x= − + ( ) ( )2 1 1 1 log 2 , 1 2 ,x x x f x x−  + − <=    ( ) ( )22 log 12f f− + = 3 6 9 12 2( 2) 1 log 4 1 2 3f − = + = + = 2 2log 12 log 2 1> = 22 2 2 2 12loglog 12 1 log 12 log 2 log 62 2(log 12) 2 2 2 2 6f − −= = = = = 2( 2) (log 12) 3 6 9f f− + = + = ( )3,9 ( ) 1 xf x a= + ( )f x ( )1f x− = ( )2log 1x − 3 1 9a + = 2a = ( ) 1 2 xf x = + ( )2log 1x y= − ( ) ( )1 2log 1f x x− = − y = x ln(1 )x− (0,1) [0,1) (0,1] [0,1] )(xf R 0>x xxxf 4)( 2 −= xxf >)( ( ) ( )2 21f x ax a x= − + >0a ( ){ }>0I x f x= I ( )α β， β α− ( )01k ∈ ， 1 1k a− ≤ ≤ I ( ) ( )2lnf x x x= − ( )0,1 [ ]0,1 ( ) ( ),0 1,−∞ +∞ ( ] [ ),0 1,−∞ +∞ ( ) 5 xf x = ( ) 2g x ax x= − ( )a ∈R ( )1 1f g =   则 （ ）. A. B. C. D. 6.（2014 山东理 3）函数 的定义域为( ). A. B. C. D. 7.（2016 江苏 5）函数 的定义域是 . 7. 解析 由题意得 ，解得 ，因此定义域为 . 题型 14 函数值域的求解 1.（2014 重庆理 12）函数 的最小值为_________. 2. (2013 重庆理 3） 的最大值为（ ）. A. B. C. D. 3.（2015 福建理 14）若函数 （ 且 ）的值域是 ， 则实数 的取值范围是 ． 3. 解析 当 时， ，要使得函数 的值域为 ，只需 的值域包含于 ，故 ，所以 ， 所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ． 4.（2015 浙江理 10）已知函数 ，则 ， 的 最小值是 ． 4.解析 利用分段函数表达式，逐步求值. . 当 时， ；当 时， . 综上， ，所以 ， . a = 1 2 3 1− ( ) ( )2 2 1 log 1 f x x = − 10 2     ， ( )2 + ∞， ( )10 2,2   +∞  ， [ )10 22   + ∞   ， ， 23 2y x x= − − [ ]3,1− 23 2 0x x− −  3 1x−   [ ]3,1− ( ) ( )2 2log log 2f x x x= ⋅ ( )( ) ( )3 6 6 3a a a− + − ≤ ≤ 9 9 2 3 3 2 2 ( ) 6, 2 3 log , 2a x xf x x x − +=  + >  0a > 1a ≠ [ )4,+∞ a 2x  6 4x− +  ( )f x [ )4,+∞ ( ) ( )1 3 log 2af x x x= + > [ )4,+∞ 1a > ( )1 3 log 2af x > + 3 log 2 4a +  1 2a<  a ( ]1,2 2 2 3, 1( ) lg( 1), 1 x xf x x x x  + −=   + <  ( ( 3))f f − = ( )f x 2( ( 3)) (lg10) (1) 1 3 01f f f f− = = = + − = 1x min( ) 2 2 3 0f x = − < 1x < ( )min( ) 0 0f x f= = min( ) 2 2 3f x = − ( ( 3)) 0f f − = min( ) 2 2 3f x = − 5.（2015 重庆理 16）若函数 的最小值为 5，则实数 _______. 5.解析 当 时，端点值为 a， ． （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； 如图所示： 由图易知： ，解得 （舍）或 ，所以 ． 当 时，端点值为 . （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； 如图所示： 由图易知： ，解得 （舍）或 ，即 . 当 时， ， ，与题意不符，舍. 综上所述： 或 . 6.（2016 北京理 14）设函数 . -1 a a -1 ( ) 1 2f x x x a= + + − a = 1a > − 1− 1x − ( )( ) 1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1 x a− < < ( ) ( )1 2 2 1f x x a x x a= + + − = − + + x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + ( )min 1 5f a a= + = 6a = − 4=a 4a = 1a < − , 1a − x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1a x< < − ( ) 1 2( ) 2 1f x x x a x a= − − + − = − − 1x − ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + ( )min 1 5f a a= + = 4=a 6a = − 6a=− 1a = − ( ) 3 1f x x= + ( ) ( )min 1 0f x f= − = 6a = − 4 ( ) 3 3 , 2 , x x x af x x x a  −= − >  （1）若 ，则 的最大值为____________________；（2）若 无最大值，则 实数 的取值范围是_________________. 6. ； 解 析 设 函 数 R) ， 得 ， 所以函数 y 在 上均是增函数，在 上 是减函数， 当 且 仅 当 时 ， ， 当 且 仅 当 时 . 从而可作出函数 R)及 R)的图像如图所示. 由图可知： （1）若 ， ； （2）当 时， 有最大值 ；当 时， 在 时无最大 值， 且 ，所以 ，即 的取值范围是 . 7.（2016 浙江理 18）已知 ，函数 ，其中 （1）求使得等式 成立的 的取值范围； （2）（i）求 的最小值 ；（ii）求 在区间 上的最大值 . 7. 解 析 （ 1 ） 由 ， 所 以 当 时 ， ， 所以此时 ； 当 时， ①.要使①式小于等于 ，即 ， 所以此时 . 0a = ( )f x ( )f x a 2 ( ), 1−∞ − 3 3 (y x x x= − ∈ 3( 1)( 1)y x x′= + − ( , 1),(1, )−∞ − +∞ ( 1,1)− 1x = − =2y极大值 1x = 2y = −极小值 3 3 (y x x x= − ∈ 2 (y x x=− ∈ 0a = ( ) ( )max 1 2f x f= − = 1a − ( )f x ( )1 2f − = 1a < − 2 x− x a> ( )3 max 2 3a x x− > − 1a < − a ( ), 1−∞ − 3a  { }2( ) min 2 1 , 2 4 2F x x x ax a= − − + − { }min , > p, p q,p q q, p q. =    2( ) 2 4 2F x x ax a= − + − x ( )F x ( )m a ( )F x [ ]0,6 ( )M a 3a 1x ( )2 22 4 2 2 1 2( 1)(2 ) 0x ax a x x a x− + − − − = + − − > ( ) 2 1F x x= − 1x > ( )2 2 4 2 2 1 2 ( 2 )x ax a x x x a− + − − − = − −（ ） 0 2 2x a≤ ≤ 2( ) 2 4 2F x x ax a= − + − x y y=-2x y=x3-3x 1 2 -1O 由上所述使得等式 成立的 的取值范围为 . （2）（i）设函数 ， ， 则 ， ， 所 以 由 的 定 义 知 ， 当 时 ， 解 得 ； 当 时，解得 .即 . （ii）当 时， ，所以 在 或 时取得最大 值为 ； 当 时， ， 所以 在两端点 或 时取得最大值. ， ， 所以当 时，有 ； 当 时，有 ，所以 . 2( ) 2 4 2F x x ax a= − + − x [ ]2, 2a ( ) 2 1f x x= − ( ) 2 2 4 2g x x ax a= − + − ( ) ( )min 1 0f x f= = ( ) ( ) 2 min 4 2g x g a a a= = − + − ( )F x ( ) ( ) ( ){ }min 1 ,m a f g a= ( ) ( )1f g a≤ 3 2 2a +≤ ≤ ( ) ( )1f g a> 2 2a > + ( ) 2 0,3 2 2 4 2, 2 2 am a a a a  +=  − + − > +   0 2x  ( ) ( ) 2 1F x f x x= = − ( )F x 0x = 2x = ( ) ( )0 2 2F F= = 2 6x  ( ) ( ) ( )22 22 4 2 4 2F x g x x ax a x a a a= = − + − = − − + − ( )F x 2x = 6x = ( )2 2F = ( )6 34 8F a= − 3 4a <≤ ( ) ( )2 6F F< 4a≥ ( ) ( )2 6F F≥ ( ) 34 8 ,3 4 2, 4 a aa a Μ − <=    