数学文卷·2019届辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试(2018-01)

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数学文卷·2019届辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试(2018-01)

辽宁省实验中学分校2017-2018学年高二上学期期末考试 数学(文科)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1、命题“,”的否定是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若,则“”的一个充分不必要条件是 ( )‎ A. B. C. 且 D. 或 ‎3.若,则下列不等式中一定不成立的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎4.设是等差数列的前项和,若, ,则 ‎ ( )‎ A. 2016 B. 2017 C. -2015 D. -2018‎ ‎5.设点分别是双曲线的左、右焦点,过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点.若的面积为,则该双曲线的渐近线方程为 ‎ ( )‎ A. B. C. D. ‎6.曲线在点处的切线方程为 ( )‎ A. B. C. D. ‎7.已知,若不等式恒成立,则的最大值为 ( )‎ A. 9 B. 12 C. 18 D. 24‎ ‎8.已知数列为等比数列,若,则数列的前项之积等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎9.若函数存在唯一的极值点,且此极值小于0,则实数的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎10.定义为个正数, , , 的“均倒数”,若已知数列的前项的“均倒数”为,又,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎11.已知过抛物线: 的焦点的直线交抛物线于, 两点,若为线段的中点,连接并延长交抛物线于点,则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎12、已知定义在实数集R的函数满足(1)=4,且导函数,则不等式的解集为(  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填入答题纸相应位置)‎ ‎13.已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值是 ‎___________。‎ ‎14.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=________.‎ ‎15.已知函数()的图象如图所示,则不等式的解集为________.‎ ‎16.已知椭圆G: 的两个焦点分别为和,短轴的两个端点分别为和,点P在椭圆G上,且满足. 当变化时,给出下列三个命题:‎ ‎①点P的轨迹关于轴对称;‎ ‎②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个;‎ ‎③的最小值为,‎ 其中,所有正确命题的序号是_____________.‎ 三、解答题(共6小题,共70分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知二次函数f(x)=ax2+ax﹣2b,其图象过点(2,﹣4),且f′(1)=﹣3.‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)设函数h(x)=xlnx+f(x),求曲线h(x)在x=1处的切线方程.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知命题,命题表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎(1)命题为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若命题“”为真,命题“”为假,求实数的取值范围.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知函数的最低点为.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在数列中, ,前项和满足.‎ ‎(1)求证:当时,数列为等比数列,并求通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和为.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆()的离心率是,其左、右焦点分别为,短轴顶点分别为,如图所示, 的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点(异于点),证明:直线和的斜率和为定值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)当时,求的单调区间和极值;‎ ‎(II)若对于任意,都有成立,求k的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,且,证明:.‎ 高二文科数学期末考试参考答案 一、 选择题 CCABD BBADC DD 二、 填空题 ‎13、-2 14、-6 15、 16、①③‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)由题意可得f(2)=﹣4,‎ 即为4a+2a﹣2b=﹣4,‎ 又f′(x)=2ax+a,可得f′(1)=3a=﹣3,‎ 解方程可得a=b=﹣1;‎ ‎(Ⅱ)函数h(x)=xlnx+f(x)‎ ‎=xlnx﹣x2﹣x+2,‎ 导数h′(x)=lnx+1﹣2x﹣1=lnx﹣2x,‎ 即有曲线h(x)在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2,‎ 切点为(1,0),‎ 则曲线h(x)在x=1处的切线方程为y﹣0=﹣2(x﹣1),‎ 即为2x+y﹣2=0.‎ ‎18、:(1)当命题为真时,由已知得,解得 当命题为真命题时,实数的取值范围是 ‎(2)当命题为真时,由解得 由题意得命题中有一真命题,有一假命题 当命题为真、命题为假时,则 解得 当命题为假、命题为真时,则,无解 实数的取值范围是 ‎19、:(1)依题意,得,①‎ ‎,②‎ 由①②解得, , .‎ ‎∴.‎ 则原不等式可化为,解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎(2)由,得,‎ 即,则,‎ 即.‎ ‎∵,∴的最小值是.‎ 的最大值是.‎ ‎∴,即.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎20、(1) ‎ 当时, 得, ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎(2)当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验时, 也适合上式.‎ ‎ .‎ ‎21、(1), , ,又 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎(2)证明:设直线的方程为, ‎ 联立得 ‎, ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ 直线与的斜率之和为定值 ‎ ‎22、‎ ‎(1), ‎ ‎①时,因为,所以,‎ 函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值; ‎ ‎②当时,令,解得,‎ 当时,;当,.‎ 所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是, ‎ 在区间上的极小值为,无极大值. ‎ ‎(2)由题意,,‎ 即问题转化为对于恒成立,‎ 即对于恒成立, ‎ 令,则,‎ 令,则,‎ 所以在区间上单调递增,故,故,‎ 所以在区间上单调递增,函数. ‎ 要使对于恒成立,只要,‎ 所以,即实数k的取值范围为. ‎ ‎(3)证法1 因为,由(1)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且.‎ 不妨设,则,‎ 要证,只要证,即证.‎ 因为在区间上单调递增,所以,‎ 又,即证, ‎ 构造函数,‎ 即,.‎ ‎ ,‎ 因为,所以,即,‎ 所以函数在区间上单调递增,故,‎ 而,故, ‎ 所以,即,所以成立. ‎ 证法2 要证成立,只要证:. ‎ 因为,且,所以,‎ 即,,‎ 即,‎ ‎,同理,‎ 从而, ‎ 要证,只要证,‎ 令不妨设,则,‎ 即证,即证,‎ 即证对恒成立, ‎ 设,,‎ 所以在单调递增,,得证,所以.‎
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