数学理卷·2018届辽宁省六校协作体高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届辽宁省六校协作体高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016——2017学年度下学期高二期中考试 数学试题(理科)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)‎ ‎1．复数(是虚数单位)的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知集合， ，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．若点在直线上，则( )‎ A. B. C. D. ‎4．已知数列，若点)在经过点的定直线上，则数列的前项和( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设表示平面， 表示直线，则下列命题中，错误的是( )‎ A. 如果，那么内一定存在直线平行于 B. 如果， ， ，那么 C.如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于 D.如果，那么内所有直线都垂直于 ‎6．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为( )‎ A. 72种 B.52种 C.36种 D. 24种 ‎8．某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( ) ‎ A. B. C.16 D. 32‎ ‎9．设抛物线 的焦点为 ，倾斜角为钝角的直线 过 且与 交于 两点，若 ，则的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎10．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如右图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求的值为(参考数据： ， )( )‎ A. 12 B. 24 C.36 D. 48‎ ‎11．实系数一元二次方程的一个根在上，另一个根在上，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎12．已知, 为自然对数的底数，则的最小值为( ) A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．已知随机变量服从正态分布，则的数学期望 ____________.‎ ‎14．若 展开式中的系数为160，则的值为____________.‎ ‎15．三角形中，角所对边分别为，已知，且三角形外接圆面积为，则________.‎ ‎16．已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是_________．‎ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎17．(10分)已知向量，设函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期和其图像的对称中心；‎ ‎(2)当时，求函数的值域.‎ ‎18．(12分)在数列中，，，‎ ‎(1)设，证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎19．(12分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：‎ 古文迷 非古文迷 合计 男生 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎(1)根据表中数据判断能否有的把握认为“古文迷”与性别有关？‎ ‎(2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；‎ ‎(3)现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式： ，其中．‎ ‎20．(12分) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的正弦值． ‎ ‎21．(12分)已知椭圆与轴的正半轴相交于点，点为椭圆的焦点，且三角形是边长为2的等边三角形，若直线与椭圆交于不同的两点．‎ ‎(1)直线的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎(2)求三角形的面积的最大值．‎ ‎22．(12分)设函数， .‎ ‎(1)判断函数零点的个数，并说明理由；‎ ‎(2)记，讨论的单调性；‎ ‎(3)若在恒成立，求实数的取值范围.‎ 高二数学(理)参考答案 一、选择题 ‎1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．B 二、填空题 ‎13．6 14． 15．2 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)，----------------(2分)‎ 则的周期，----------------(3分)‎ 图象的对称中心为.----------------(5分)(不写扣1分)‎ ‎(2)，，，----------------(7分)‎ ‎----------------(10分)‎ ‎18．解：(1)证明 由已知，‎ 得.‎ ‎，又.‎ ‎∴是首项为1，公差为1的等差数列．----------------(6分)【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(2)解 由(1)知，，.∴.‎ ‎∴‎ 两边乘以2得：，‎ 两式相减得：‎ ‎，‎ ‎∴.----------------(12分)‎ ‎19．解：‎ ‎(1)由列联表得，‎ 所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．----------------(4分)【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(2)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．　‎ 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．----------------(6分)‎ ‎(3)因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2，3．‎ ‎，，．‎ 所以随机变量的分布列为 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 于是．----------------(12分)‎ ‎20．(1)证明：连结交于点，连结.以D为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，依题意得.‎ 因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，‎ 故点的坐标为，且.‎ 所以,即,而平面,且平面,‎ 因此平面．----------------(6分)‎ ‎(2),又,故,所以.‎ 由已知，且,所以平面.----------------(7分)‎ 所以平面的一个法向量为.,‎ 不妨设平面的法向量为 则 不妨取则，即----------------(10分)‎ 设所求二面角的平面角为 因为，所以．‎ 二面角的正弦值大小为．----------------(12分)‎ ‎21．解：(1)因为三角形是边长为2的等边三角形，‎ 所以，，，所以，‎ 所以椭圆，----------------(2分)‎ 所以点. 将直线代入椭圆的方程，‎ 整理得：，(*)‎ 设，则由(*)式可得:‎ ‎，‎ 所以，，----------------(4分)‎ ‎，所以直线的斜率之积 所以直线的斜率之积是定值.----------------(6分)‎ ‎(2)记直线与轴的交点为，则 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以三角形的面积的最大值为.----------------(12分)‎ ‎22．解(1)由题意知，∴‎ 故在单调递增，又，，‎ 因此函数在内存在零点.所以的零点的个数为1. ‎ ‎ ----------------(3分)‎ ‎(2)，‎ ‎，‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，由，解得（舍去负值），‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增.‎ 综上时，在单调递减，‎ 时，在单调递减，在单调递增. ----------------(6分)‎ ‎(3)由题意：，‎ 问题等价于在恒成立，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设，‎ 若记，则，当时，，‎ 在单调递增，，即，‎ 若，由于，故，故，‎ 即当在恒成立时，必有.‎ 当时，设，‎ ‎①若，则时，‎ 由(2)知，单调递减，，单调递增，‎ 因此，而，即存在，使，‎ 故当时，不恒成立.‎ ‎②若，即时，‎ 设，，‎ 由于且，即，故，‎ 因此，‎ 故在单调递增.所以时，‎ 即时，在恒成立.‎ 综上：，在恒成立. ----------------(12分)‎