上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题(解析版)
上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1. 已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“m//n”是“m‖α”的( )
A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内，直线m不在平面α内，
若“m//n”则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的充分条件，
直线n在平面α内，直线m不在平面α内，
若“m‖α”则“m//n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的不必要条件，
即“m//n”是“m‖α”的充分非必要条件，
故选：B．
由线面平行的性质定理可得“m//n”是“m‖α”的充分条件，
由线线，线面关系，可得“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即可得解
本题考查了线面平行的性质定理、线线，线面关系，属简单题．
2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2-c24，则C=( )
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
【答案】C
【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为a2+b2-c24，
∴S△ABC=12absinC=a2+b2-c24，
∴sinC=a2+b2-c22ab=cosC，
∵0
≤1，
则cos<a，b>≤12，
即π3≤<a，b>≤π，
即向量a，b的夹角的取值范围是[π3,π]，
故选：B．
根据向量三角不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．
本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键，综台性较强，难度较大．
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二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 双曲线x23-y2=1的焦距为______．
【答案】4
【解析】解：根据题意，双曲线x23-y2=1，其中a2=3，b2=1，
则c=a2+b2=2，
则其焦距2c=4；
故答案为：4．
根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．
2. 已知集合M={x|-2≤x-1≤2}，N={x|x=2k-1,k∈N*}，则M∩N=______．
【答案】{1,3}
【解析】解：M={x|-1≤x≤3}，N是正奇数的集合；
∴M∩N={1,3}．
故答案为：{1,3}．
可看出集合N表示正奇数的集合，从而解出集合M，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的概念及运算．
3. 设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为______．
【答案】an=6n-3
【解析】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，
∴a1+d+a1+4d=36a1=3，
解得a1=3，d=6，
∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3．
∴{an}的通项公式为an=6n-3．
故答案为：an=6n-3．
利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{an}的通项公式．
本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4. 若复数z满足i1+2i1z=0，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．
【答案】-1
【解析】解：由i1+2i1z=0，得zi-1-2i=0，
∴z=1+2ii=(1-2i)(-i)-i2=-2-i，
∴z的虚部为-1．
故答案为：
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-1．
由已知可得zi-1-2i=0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
1. 函数f(x)=log12(x-1)-1的定义域为______．
【答案】(1,32]
【解析】解：函数f(x)=log12(x-1)-1有意义，
可得：log12(x-1)-1≥0，可得0≤x-1≤12，
解得10，
∵B(5,0)，∴C(a+52,a)，
则圆C的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0．
联立(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0y=2x，解得D(1,2)．
∴AB⋅CD=(5-a,-2a)⋅(-a-32,2-a)=a2-2a-152+2a2-4a=0．
解得：a=3或a=-1．
又a>0，∴a=3．
即A的横坐标为3．
故答案为：3．
设A(a,2a)，a>0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合AB⋅CD=0求得a值得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．
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1. 设函数f(x)=(x-2)2sin(x-2)+3在区间[-1,5]的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=______．
【答案】6
【解析】解：设x-2=t，则t∈[-3,3]，
故f(x)=g(t)=t2sint+3，t∈[-3,3]，
函数y=g(t)-3是奇函数，
最大值和最小值的和是0，
故M-3+m-3=0，
故M+m=6，
故答案为：6．
通过换元以及函数的奇偶性求出M+m的值即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数最值以及转化思想，换元思想，是一道常规题．
2. 若实数a是实数1+2b与1-2b的等比中项，则8ab|a|+2|b|的最大值为______．
【答案】2
【解析】解：a是1+2b与1-2b的等比中项，则a2=1-4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．
∴|ab|≤14．
∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2-4|ab|=1．
∴8ab|a|+2|b|=8ab1+4|ab|≤8|ab|1+4|ab|=44(ab)21+4|ab|=444|ab|+(1ab)2=44(1|ab|+2)2-4
∵|ab|≤14，
∴1|ab|≥4，
∴8ab|a|+2|b|≤44(1|ab|+2)2-4≤4432=2，
故答案为：2．
由a是1+2b与1-2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得．
本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3. 已知函数f(x)=x2-2mx+2m,x>m|x|,x≤m(m>0)，若存在实数b，使得函数g(x)=f(x)-b有3个零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】(1,+∞)
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【解析】解：存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，
即为函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同的交点，
即有x>0时，f(x)不单调，
可得|m|>m2-2m2+2m，(m>0)，
即有m2>m，
解得m>1．
故答案为：(1,+∞)．
由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=b有3个不同的交点，通过x≤m的图象，可得x>0时，f(x)不单调，可得|m|>m2-2m2+2m，(m>0)，解不等式即可得到m的范围．
本题考查函数方程的转化思想，根的个数转化为交点个数，画出函数f(x)的图象是解题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
1. 设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3．
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y=g(x)的单调增区间．
【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=2sin(2ωx+π4)+2
依题意得2π2ω=2π3，故ω的值为32．
(Ⅱ)依题意得：g(x)=2sin[3(x-π2)+π4]+2=2sin(3x-5π4)+2
由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2(k∈Z)
解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)
故y=g(x)的单调增区间为：[23kπ+π4,23kπ+7π12](k∈Z)．
【解析】(1)先将函数化简为f(x)=2sin(2ωx+π4)，再由2π2ω=2π3，可得答案．
(2)根据g(x)=f(x-π2)先求出解析式，再求单调区间．
本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法.做这种题首先要将原函数化简为y=Asin(ωx+φ)的形式再做题．
2. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M
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在棱BC上，且BM=13BC，求直线PM与平面PAC所成角的大小(结果用反三角表示)
【答案】证明：(1)∵在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，
PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
∴PO⊥AC，BO⊥AC，AC2=AB2+BC2，PO=16-4=23，
∴AB⊥BC，∴AO=BO=CO=2，
∴BO2+PO2=PB2，∴PO⊥BO，
∵AC∩BO=O，∴PO⊥平面ABC．
(2)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
点M在棱BC上，且BM=13BC，
则P(0,0，23)，M(43,23,0)，A(0,-2,0)，
C(0,2，0)，
PM=(43,23,-23)，平面PAC的法向量n=(1,0，0)，
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|PM⋅n||n|⋅|PM|=431289=24．
∴直线PM与平面PAC所成角的大小为arcsin24．
【解析】(1)推导出PO⊥AC，BO⊥AC，AB⊥BC，PO⊥BO，由此能证明PO⊥平面ABC．
(2)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PM与平面PAC所成角的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
1. 如图，已知抛物线C：y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．OQ=λMQ，OQ=μNQ，求证：λ+μ为定值．
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【答案】解：(1)抛物线C：y2=2px经过点P(1,2)，∴4=2p，解得p=2，
设过点(0,1)的直线方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)；
联立方程组可得y=kx+1y2=4x，
消y可得k2x2+(2k-4)x+1=0，
∴△=(2k-4)2-4k2>0，且k≠0解得k<1，
故直线l的斜率的取值范围(-∞,0)∪(0,1)；
(2)证明：设点M(0,yM)，N(0,yN)，
则MQ=(0,1-yM)，OQ=(0,1)；
因为OQ=λMQ，所以1=λ(1-yM)，故λ=11-yM，同理μ=11-yN，
直线PA的方程为y-2=2-y11-x1(x-1)=2-y11-y124(x-1)=42-y1(x-1)，
令x=0，得yM=2y12+y1，同理可得yN=2y22+y2，
因为λ+μ=11-yM+11-yN=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y2(2-y1)(2-y2)
=8-2(kx1+1)(kx2+1)1-k(x1+x2)+k2x1x2=8-2[k2x1x2+k(x1+x2)+1]1-k(x1+x2)+k2x1x2=8-2(1+4-2kk+1)1-4-2kk+1=2，
即有λ+μ为定值．
【解析】(1)将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入抛物线方程，由△>0，即可求得k的取值范围；
(2)根据向量的共线定理即可求得λ=1-yM，μ=1-yN，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得λ+μ为定值．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
1. 已知两个城市A，B相距100km，现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂，垃圾处理厂计划在以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造(不能选在点A，B上)，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x(单位是km)，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调査表明：垃圾处理厂对城A
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的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为100；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB上距离A城20公里处时，对城A和城B的总影响度为35128．
(1)将y表示成x的函数；
(2)求当垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大时的总影响度y的值；
(3)求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值，并求出此时x的值.(结算结果均用精确值表示)
【答案】解：(1)由圆的性质可知BC2=AB2-AC2=10000-x2，
∴y=100x2+k10000-x2，
把(20,35128)代入上式得：14+k9600=35128．
解得k=225．
∴y=100x2+22510000-x2(00，
∴当x=2010，y取得最小值，最小值为1004000+2256000=0.0625．
【解析】(1)先求出k的值，再得出解析式；
(2)根据三角函数求出距离和的最大值对应的x的值，再计算影响度；
(3)利用导数判断函数的单调性，从而得出y的最小值及对应的x的值．
本题主要考查函数模型的建立和应用，考查函数最值的计算，属于中档题．
1. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b=2时，记bn=n+14an(n∈N*)，求数列
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{bn}的前n项和Tn；
(3)数列{cn}满足，c1=1，cn+1-cn=2(an+1-an)(n∈N*)，若120且b≠1，若b>1可得cn递增，且无界，
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