2020年高中数学第一章常用逻辑用语章末检测新人教A版选修2-1
章末检测(一) 常用逻辑用语
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x>1，则x>0”的否命题是( )
A．若x>1，则x≤0 B．若x≤1，则x>0
C．若x≤1，则x≤0 D．若x<1，则x<0
解析：由否命题的定义可知应选C.
答案：C
2．下列语句是命题的是( )
A．2 018是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗？
D．a≤15
解析：A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．
答案：B
3． “a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分必要条件 D．必要不充分条件
解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知
“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D.
答案： D
4．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
解析：①的逆命题为<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
答案：D
5．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )
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A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．
答案：D
6．“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：2a>2b⇔a>b，但由a>b⇒/log2a>log2b，反之成立．
答案：B
7．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或
a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为( )
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
解析：命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或
a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线
l1与l2不平行”．
答案：A
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)，则“f(1)
1”是“x>2”的充分不必要条件
D．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”
解析：选项A的逆命题，若m＝0时，则是假命题；选项B，p，q
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可以有一个为假命题；选项C为必要不充分条件；选项D符合存在性命题的否定规则．故选D.
答案：D
10．命题p：关于x的不等式(x－2)≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－44.
答案：C
12．“x∈{3，a}”是“不等式2x2－5x－3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a<0或a>2
C．a<0 D．a≤－或a>3
解析：由2x2－5x－3≥0得x≤－或x≥3.
∵“x∈{3，a}”是“不等式2x2－5x－3≥0成立”的一个充分不必要条件，又根据集合中元素的互异性知a≠3.
∴a≤－或a>3.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．
解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
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答案：有些可以被5整除的数，末位不是0
14．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－21”是“x1，得x<－1，或x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，
所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
16. 下列四个结论中，正确的有________(填所有正确结论的序号)．
①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；
②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充分必要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．
解析：根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x2＝1是x＝1的充分不必要条件，显然错误；x≠0时也可能有x＋|x|＝0，故条件不充分，反之，x＋|x|>0⇒x>0⇒x≠0，结论④正确．
答案：①②④
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
18．(12分)分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p
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”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，
q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
解析：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；
p且q：3是9的约数且是18的约数，真；
非p：3不是9的约数，假．
(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．
(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真．
19．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.
证明：充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.
20．(12分)若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
因为綈p为假命题，所以p为真命题．
因此－(a－1)≥4.
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故a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
21．(13分)已知a>0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，那么a的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程．
解析：由y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知00，
解之得a<或a>.
∴p真对应集合A＝{a|0(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0.
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a
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