2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ

‎2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）‎ 数学Ⅰ 一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上 ‎1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A∩B = 　 ．‎ 答案：。‎ ‎2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i)2 的虚部为 　 ．‎ 答案：，即虚部为-4。‎ ‎3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 　 ．‎ 答案：。‎ ‎4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：。‎ ‎5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 　 ．‎ ‎　　　　　　‎ 答案：40‎ ‎6、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 　 ．‎ 答案：‎ ‎7、已知函数，若， 则实数a = 　 ．‎ 答案： ‎ 解析：‎ ‎8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：设第七天走的路程为，那么七天总共走的路程为 ‎。‎ ‎9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：设圆柱的底面半径为，高为，那么，‎ 圆柱的侧面积为。‎ ‎10、设定义在区间 (0，)上的函数 y = 3sin x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P， 则点 P 到 x 轴的距离为 　 ．‎ 答案：3‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎11、在△ABC 中 ， 角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c ，已知5a = 8b，A = 2B ， 则 sin（A-）＝ 　 ．‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎。‎ ‎12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O : x2 + y2 =1上存在 点 C ， 使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：根据题意得，圆 O : x2 + y2 =1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离为不大于2，即，于是。‎ ‎13、在△ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，ÐBAC = 90º， D，E 分别为 BC，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q， 则的最大值为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：以AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系，那么B(0,2),C(1,0),并且E点的坐标为，设直线PQ的方程为，所以有，‎ ‎14、已知函数 f (x) =， g(x) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x) 与函数 y = g(x) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 　 ．‎ 答案：‎ 解析：很显然，，单调递增，至多有一个零点，不符合题意。‎ 时，令 ‎ ，可以求得时，‎ 二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、‎ 证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（ 本小题满分 14 分）‎ 如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ^ BC ， AC ^ DC ， BC = DC ， E，F分别为BD，‎ CD 的中点， 求证：‎ ‎（1） EF // 平面 ABC ;‎ ‎（2） BD ^平面 ACE .‎ 解：（1）三棱锥中，‎ ‎　　　∵为的中点，为的中点，∴， …………………………3分 ‎　　　∵平面，平面，‎ ‎∴平面． ……………………………………………………………6分 ‎（2）∵，，，‎ ‎∴平面， …………………………………………………………………8分 ‎　　 ∵平面，∴， ………………………………………………10分 ‎　　 ∵为的中点，∴， ……………………………………12分 ‎　　 ∵，∴平面． …………………………………………14分 ‎16．（ 本小题满分 14 分）‎ 已知向量 a = (2cosa，2sina )，b = (cosa - sina，cosa + sina ).‎ ‎（1） 求向量a与b的夹角；‎ ‎（2） 若(lb - a) ^ a，求实数 l的值.‎ 解：（1）设向量与的夹角为，‎ ‎　　因为，，………………………4分 ‎　　所以 ‎． …………………………………………………………7分 考虑到，得向量与的夹角． ………………………………………9分 ‎（2）若，则，即， ………………………12分 因为，， ‎ 所以，解得． ……………………………………………………14分 ‎17．（ 本小题满分 14 分）‎ 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB，余下的外围是抛 物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出 一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A， B，C， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m米， 到直路AB的距离为 n 米.‎ ‎（1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；‎ ‎（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？‎ 并求出其最大值.‎ 解：（1）以路AB所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，‎ ‎ …………………………………………………1分 ‎　　则，，， …………………………………………………2分 ‎∵曲线段APB为抛物线的一段弧，‎ ‎∴可以设抛物线的解析式为， ‎ ‎　　将点代入得：，解得， ………………………………4分 ‎　　∴抛物线的解析式为， …………………………………………5分 ‎　　∵点C在抛物线上，∴，． ………………………6分 ‎（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，‎ 则， ………………………………………………8分 ‎　　， ………………………………………………9分 ‎　　∵， ………………………10分 ‎　　令，得， …………………………………………………………11分 m 增 极大值 减 ‎　　 …………………………………………………13分 ‎∴当时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米． …………14分 ‎18．（ 本小题满分 16 分）‎ 已知椭圆E: 的离心率为， 焦点到相应准线的距离为.‎ ‎（1） 求椭圆 E 的标准方程；‎ ‎（2） 已知 P(t，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l1和 l2 ， l1和 l2 分别交椭圆 E 于点 A， B和点C，D， 且 l1和 l2 的斜率分别为定值k1 和k2，‎ 求证：为定值.‎ 解：(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，‎ ‎　　，则，， ………………………………………3分 解得，，， …………………………………………………………5分 ‎　　∴椭圆E的标准方程是． ………………………………………………6分 ‎(2)由题意，设直线的方程为，代入椭圆E的方程中，并化简得，‎ ‎　　， …………………………………………………8分 ‎　　设，．‎ ‎　　则，，‎ ‎　　因为PA=，PB=，……………………………………10分 ‎　　所以 ‎　　， ……………………………12分 ‎　　同理，PC× PD=， …………………………………………………14分 ‎　　所以=为定值． ………………………………………16分 ‎19．（ 本小题满分 16 分）‎ 已知函数 f (x) = (x +1)ln x + ax(a Î R).‎ ‎（1） 若 y = f (x) 在(1，f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ， 求实数 a，b 的值；‎ ‎（2） 设函数 g(x) ＝， x∈ [1，e]（ 中 e 为自然对数的底数） .‎ ‎①当 a =- 1时， 求 g(x) 的最大值；‎ ‎②若h(x) = 是单调递减函数， 求实数 a 的取值范围.‎ 解：（1），，， ………………………1分 ‎　　，代入解得． ……………………………2分 ‎（2）①∵，则． …………3分 ‎　　令，‎ 则，在单调递增， …………………………………5分 ‎， ………………………………………………………………6分 ‎　　∴，在单调递增，∴的最大值为． …………8分 ‎②同理，单调递增函数， ……………………………9分 ‎　　则．‎ 若，，，‎ ‎　　，‎ ‎　　令，‎ ‎　　则．‎ ‎　　即在单调递减，∴，∴．……………11分 若，，，‎ 由知，， 又在区间上是单调减函数，‎ 所以对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，‎ 记，又，‎ 所以在区间上单调递减，故，即，所以 即在区间上是单调递减，所以，‎ 所以，又，‎ ‎∴． ………………………………………13分 若，因为，‎ ‎，‎ 所以在上单调递增，‎ 又，‎ ‎　　则存在唯一的，使，‎ ‎　　∴在上不单调． …………………………………………………15分 ‎　　综上所述，． ……………………………………………16分 ‎20．（ 本小题满分 16 分）‎ 定义： 若有穷数列 a1，a2，×××，an 同时满足下列三个条件， 则称该数列为 P 数列.‎ ‎①首项 a1 = 1； ② a1 < a2 < ××× < an ； ③对于该数列中的任意两项 ai 和 a j (1 £ i £ j £ n) ，‎ 其积 aia j 或商仍是该数列中的项.‎ ‎（1） 问等差数列1，3，5 是否为 P 数列？‎ ‎（2） 若数列 a，b，c，6 是 P 数列， 求 b 的取值范围；‎ ‎（3） 若 n > 4 ，且数列 b1，b2，…，bn 是 P 数列， 求证： 数列 b1，b2，×××，bn 是等比数列.‎ 解：（1）∵，均不在此等差数列中，‎ ‎　　∴等差数列不是P数列； …………………………………………………2分 ‎　（2）∵数列a，b，c，6是P数列，所以1＝a＜b＜c＜6， ………………………3分 ‎　由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，‎ ‎　∴是数列中的项，同理也是数列中的项， ……………………………………5分 ‎　考虑到1＜＜＜6，于是＝b，＝c，‎ ‎　∴bc＝6，又1＜b＜c，所以1＜b＜， …………………………………………7分 ‎　　综上，b的取值范围是(1，)． ………………………………………………8分 ‎（3）∵数列{bn}是P数列，所以1＝b1＜b2＜b3＜…＜bn，‎ 由于b2bn或是数列中的项，而b2bn大于数列中的最大项bn，‎ ‎　　　∴是数列{bn}中的项， …………………………………………………………10分 同理，，…，也都是数列{bn}中的项，‎ 考虑到1＜＜…＜＜bn，且1，，…，，bn这n个数全是共有n项的增数列1，‎ ‎ b2，…，bn中的项，‎ ‎∴，…，， ‎ 从而bn＝bibn＋1－i (i＝1，2，…，n－1)，① ………………………………12分 又∵bn－1b3＞bn－1b2＝bn，所以bn－1b3不是数列{bn}中的项，‎ ‎∴是数列{bn}中的项，同理，…也都是数列{bn}中的项，‎ 考虑到1＜＜…＜＜＜＝bn－2＜bn－1＜bn，‎ 且1，，…，，，，bn－1，bn这n个数全是共有n项的增数列1， b2，…，bn中的项，‎ 于是，同理有，bn－1＝bibn－i(i＝1，2，…，n－2)，② …………………………14分 在①中将i换成i＋1后与②相除，得＝，i＝1，2，…，n－2，‎ ‎∴b 1，b2，…，bn是等比数列． …………………………………………………16分 ‎2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知x，yR，是矩阵A＝的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．‎ 解：∵是矩阵的属于特征值的一个特征向量，‎ ‎∴，∴解得， ……………………4分 ‎∴， …………………………………………………………………6分 特征多项式为，即， ……………………8分 ‎∴另一个特征值为． …………………………………………………………10分 B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设l与C交于A，B两点，求AB的长．‎ 解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴建立坐标系，‎ 直线的直角坐标方程为， ……………………………………2分 曲线的普通方程为， ……………………………………………4分 则直线与曲线的交点为和， ………………………………7分 ‎∴． ………………………………………………………………10分 C．选修4—5：不等式选讲 若不等式对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：∵， …………………………………………4分 ‎∴要使不等式对任意的恒成立，当且仅当， ………7分 ‎∴或． ………………………………………………………………………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．‎ ‎（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；‎ ‎（2）求随机变量X的数学期望E(X)．‎ 解：由于批量较大，可以认为随机变量, ………………………2分 ‎（1）恰好有2件不合格的概率，‎ 恰好有3件不合格的概率， ……………………………4分 ‎∵，‎ ‎∴，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分 ‎（2）∵，.‎ 随机变量的概率分布为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ 故． ………………………………………………………………9分 答：随机变量的数学期望为． …………………………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知，，其中，．‎ ‎ （1）求，，，的值；‎ ‎ （2）记，求证：对任意的m，m≥2，总有．‎ 解：（1），，‎ ‎，；……………………………………………3分 ‎（2）∵‎ ‎， ………………………………………4分 ‎∴．……………………………………5分 下面用数学归纳法证：对任意的，总有．‎ 当时，，命题成立；‎ 当时，，命题成立，……6分 假设当（）时，命题成立，即成立；‎ 则当时，‎ ‎， …………………………7分 ‎∵，，‎ ‎∴．　 ……………………………………………………………8分 又 ‎， ………………………………………………………………………9分 ‎∴，‎ ‎∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分