江西省宜春市上高县上高二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

江西省宜春市上高县上高二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

‎2021届高二第三次月考数学(理)试题 一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到抛物线的标准式方程，进而得到焦点坐标.‎ ‎【详解】抛物线的标准式为焦点坐标为.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线方程的焦点坐标的应用，属于基础题.‎ ‎2.下列命题的说法错误的是（　　）‎ A. 对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B. “x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C. “ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D. 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】对于命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则¬p: ∃x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命题；‎ ‎“x=1”是“x2−3x+2=0“充分不必要条件，是真命题；‎ 若c=0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；‎ 命题“若x2−3x+2=0,则x=1”的逆否命题为：“若x≠1,则x2−3x+2≠0”，是真命题；‎ 故选C.‎ ‎3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 64 B. 72 C. 80 D. 112‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是 考点：三视图 ‎4.如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.‎ ‎【详解】，圆心为 半径为1‎ 圆心到原点的距离为： ‎ 如果圆上总存在点到原点的距离为 即圆心到原点距离 ‎ 即 故答案选B ‎【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.‎ ‎5.直线与曲线（　　 ）‎ A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在和两种情况下得到曲线方程，与直线方程联立后可求得方程的根，从而确定交点个数.‎ ‎【详解】当时，曲线为，与直线方程联立得：‎ 解得：， 此时直线与曲线有两个交点 当时，曲线为，与直线方程联立得：‎ 解得：（舍）， 此时直线与曲线有一个交点 综上所述：直线与曲线有三个交点 故选：‎ ‎【点睛】本题考查直线与曲线交点个数求解，关键是能够通过分类讨论的方式得到曲线的解析式，进而通过直线与曲线方程联立求得结果.‎ ‎6.试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．‎ 过点P作于点，由定义可得,‎ 所以，‎ 由图形可得，当三点共线时，最小，此时．‎ 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ ‎7.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设这条弦的两端点为斜率为，则，两式相减再变形得，又弦中点为，可得，‎ 所以这条弦所在的直线方程为，整理得，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.‎ ‎8.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据截面与底面所成的角是45°，根据直角三角形写出椭圆的长轴长，而椭圆的短轴长是与圆柱的底面直径相等，求出的值，根据椭圆的离心率公式，代入的值，求出结果．‎ ‎【详解】设圆柱底面圆的半径为，‎ ‎∵与底面成45°角的平面截圆柱，‎ ‎∴椭圆的半长轴长是，‎ 半短轴长是，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查等腰直角三角形的边长之间的关系，是一个比较简单的综合题目，题目涉及到的知识比较多 ‎9.已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线AB方程为：设，联立直线与抛物线方程可得：，，= ‎ 点睛：考察直线与抛物线的性质综合，通过求出直线联立方程得出韦达定理，而= 将韦达定理代入即可求得结果，本题要注意将问题转化为韦达定理的表达时从而求解 ‎10.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先记点到抛物线准线的距离为，根据抛物线的定义，将化为，再设直线的方程为，因此求的最小值，即是求的最小值，由此可得，直线与抛物相切时，最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果.‎ ‎【详解】记点到抛物线准线的距离为，‎ 由抛物线定义可得，‎ 因此求的最小值，即是求的最小值，‎ 设直线的方程为，倾斜角为易知，，‎ 因此当取最小值时，最小；‎ 当直线与抛物线相切时，最小；‎ 由可得，‎ 由得，即，所以，即.‎ 因此，的最小值为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎11.如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A. 始终有平面 B. 不存在某个位置，使得面 C. 点在某个球面上运动 D. 一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，根据线面平行判定定理可得平面恒成立，正确；‎ 中，假设存在某个位置使得平面成立，根据线面垂直性质可得，；利用勾股定理可求得满足两个垂直关系时长度不一致，故假设错误，正确；‎ 中，由可知，可知点到距离为定值，可知正确；‎ 中，由可知所求异面直线成角为，利用正切值可知不可能为，错误.‎ ‎【详解】中，取中点，连接 分别为中点 且 又且 四边形为平行四边形 ‎，又平面，平面 平面 即始终有平面，正确；‎ 中，假设存在一个位置，使得平面 平面，平面 ，‎ ‎， ‎ 又， ‎ 不存在满足题意的的位置，使得，同时成立 不存在某个位置，使得面，正确；‎ 中，由知：四边形为平行四边形 ‎ ‎ 为定长 点在以为球心，为半径的球面上运动，正确；‎ 中，由知：‎ 异面直线与所成角即为与所成角，即 ‎ ‎ 即异面直线与所成角不可能为，错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中折叠问题的求解，涉及到异面直线所成角、线面平行关系、动点轨迹问题、线面垂直关系的相关问题的求解；解决折叠问题的关键是抓住折叠过程中的变量与不变量.‎ ‎12.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为　　‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.‎ ‎【详解】设，依题意直线的方程为 ‎，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎13.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用底面半径表示出母线长和圆锥的高，根据圆锥侧面积和体积公式求得侧面积和体积，从而构造方程求得结果.‎ ‎【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 圆锥的高 圆锥侧面积，体积 ‎，解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查圆锥侧面积和体积公式的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知双曲线，则该双曲线的焦距为______，渐近线方程为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的方程确定焦点的位置和的值，再求渐近线和焦距.‎ ‎【详解】由双曲线得焦点在轴上，且，所以，焦距为，渐近线为.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线性质.根据方程可以得到的值及焦点位置，从而可以推演出其它的性质，比如离心率，渐近线，实轴长，焦距等.‎ ‎15.动点椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.则点的轨迹方程______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，根据题意列出等式，然后根据在椭圆上，代入即得．‎ ‎【详解】解：令，，‎ 则，‎ 即代入可得即 故答案为 ‎【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，属于基础题．‎ ‎16.已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示，由条件可得在底面中，．取AB的中点O，AC的中点E，连OC,OE．则.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴.‎ 又.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴点O为三棱锥外接球的球心，球半径为2.‎ ‎∴．答案：．‎ 点睛：‎ ‎（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB的中点O，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可．‎ ‎（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（1）求焦点在轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；‎ ‎（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆标准方程，由长轴长知；由焦距得到，解出后，代入椭圆方程即可得到结果；‎ ‎（2）设双曲线标准方程，由渐近线斜率可得，由焦点坐标可得，从而求得，代入双曲线方程可得到结果.‎ ‎【详解】（1）设椭圆标准方程为：‎ 由长轴长知： ‎ 由焦距知： ，解得：‎ 椭圆标准方程为：‎ ‎（2）双曲线焦点在轴上 可设双曲线标准方程为 双曲线渐近线方程为： ‎ 又焦点为 ，解得： ‎ 双曲线标准方程为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求解，椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.‎ ‎18.已知命题恒成立；命题q：方程 表示双曲线．‎ 若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(2) ;(2) ，或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当命题P为真命题时，转化为求在上的最小值，继而求出m的范围；（2）先求出当命题q为真命题时m的范围，再由已知条件得出p,q一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出m的范围，最后取并集即可求出m的范围．‎ 试题解析：（1），∵，∴，故命题为真命题时，．‎ ‎（2）若命题为真命题，则，所以，‎ 因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，‎ 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.‎ 当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；‎ 当命题为假命题，命题为真命题时，， 舍去．‎ 综上，，或.‎ ‎19.已知点，圆 ‎（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；‎ ‎（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；‎ ‎（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.‎ ‎【详解】（1）过点只能作一条圆的切线 在圆上 ‎，解得：‎ 当时，，则切线方程为：，即 当时，，则切线方程为：，即 ‎（2）设直线方程为： ‎ 直线方程为：‎ 圆的圆心到直线距离 ‎，解得：或 ‎【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：‎ ‎1.过圆上一点的切线方程为：；‎ ‎2.直线被圆截得的弦长等于.‎ ‎20.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由余弦定理可得，则可得，在直平行六面体中，平面，则可得，由此说明平面，即可证明平面平面；‎ ‎（2）以为原点建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，求出平面的法向量，由直线与平面所成角正弦值的公式即可得到直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：在中，因为，.‎ 由余弦定理得，，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ 在直平行六面体中，平面，平面，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面平面. ‎ ‎（2）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，‎ 因为，，‎ 所以，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量，‎ ‎， ‎ 令，得，，‎ ‎∴. ‎ 设直线和平面的夹角为，‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面所成角的正弦值，熟练掌握面面垂直的判定以及线面所成角的公式是解题关键，考查学生基本的算能力，属于中档题．‎ ‎21.如下图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在点，满足,二面角的余弦值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）要证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，取的中点,构造平行四边形即可证明；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，假设上存在一点使，利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件，平面的一个法向量为，再求出平面的法向量，即可求二面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）取的中点，连和，过点作，垂足为 ‎∵，，∴，又 ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，在直角三角形中，‎ ‎∴，而分别为的中点，‎ ‎∴且，又 ‎∴且，四边形为平行四边形，‎ ‎∴‎ 平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）由题意可得，两两互相垂直，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，假设上存在一点使，设坐标为，‎ 则，由，得，‎ 又平面的一个法向量为 设平面的法向量为 又，，‎ 由，得，即 不妨设，有 则 又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ 考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用．‎ ‎22.已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点， （为坐标原点）的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）椭圆与抛物线交于，两点，‎ 可设，，‎ ‎∵的面积为，‎ ‎∴，解得，∴，，‎ 由已知得，解得，，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故 ‎；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 联立方程，化简得，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ 因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，又，所以等号不成立.‎ ‎∴，‎ 综上，面积的最大值为.‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎