2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第三中学2018-2019学年高二下学期第一次阶段性测试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导可得为一次函数，直接利用端点值求出中点值即为平均值。‎ ‎【详解】‎ 由可得，因为为一次函数，所以平均值即为的中点值，易得，，故平均值为，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的几何意义（即在某点的导数为在该点处切线的斜率，也为函数在该点处的变化率。‎ ‎2．已知函数在处的导数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把式子变形为，再利用函数在某一点的导数的定义，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得 ‎，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数在某一点处的导数的定义的应用，其中解答中熟记函数在某一点的导数的定义，合理利用极限的运算法则化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎3．已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题利用物理知识可得即为时的速度，所以首先需要对位移的解析式求导便可得到关于速度与时间的解析式，然后将代入，便可得到。‎ ‎【详解】‎ 因为，可得，‎ 所以，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查位移S与速度v的关系：。‎ ‎4．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为函数在连续可导且单调递增，‎ 所以在恒成立，‎ 分离参数得恒成立，即，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立。‎ ‎5．已知点在曲线上移动，设曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合正切函数的图象和性质，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为，所以，即，‎ 又因为，结合正切函数的图象与性质，可得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及正切函数的图象与性质的应用，其中解答熟记导数的几何意义，求得，再结合正切函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎6．函数，的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，得到当时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，进而比较，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，即，即，‎ 又因为，解得，‎ 则当时，，函数单调递增，‎ 当，时，，函数单调递减，‎ 又由，‎ 因为，所以函数的最大值为，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的最大值问题，其中解答中求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎7．如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可直接求出函数的单调区间，再根据题目中所告诉的区间内不单调，则极值点在该区间内，从而得出k的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，函数定义域为 ‎ ‎，令，解得在定义域内，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 函数在区间内不单调，所以，‎ 解得，又因为，得，‎ 综上，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数与函数单调性，需注意函数定义域。‎ ‎8．如果函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，根据函数有两个极值点可得有两个不等实根，从而得解。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，即，‎ ‎，‎ 因为函数有两个极值点，所以在有两个不等实根，‎ ‎，解得 即，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数与极值的关系，求解这一类问题时，如果导函数可以转化为二次方程，则直接利用二次函数根的分布求解，若不能转化为二次方程，尽可能用数形结合求解。‎ ‎9．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 存在，成立 ‎，‎ ‎，‎ 故选 点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础。‎ ‎10．已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：对任意的，不等式恒成立等价于 详解：由题意可得，且，‎ 由于，‎ 所以当时， ，函数在上单调递增，‎ 则,，‎ 所以，‎ 故,，即，即 故选A.‎ 点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先将问题等价转化为求函数，在区间的最大值和最小值的问题。然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性求出其最大值和最小值，从而使得问题获解。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．函数的单调递增区间为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，然后令，确定极值点，再讨论极值点两端导函数与0的关系，从而得到函数单调性。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 令，解得或，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增。‎ 所以的单调递增区间为，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数求函数单调区间，需注意：当求出的单调区间分为几段时，每个区间之间只能用逗号连接，不能用并集符号连接。‎ ‎12．函数的极大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出导函数，再令，确定极值点，再讨论极值点两端函数单调性，确定极大值。‎ ‎【详解】‎ 根绝题意得：，‎ 令，解得，或，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以为极大值，为极小值。‎ 综上，函数的极大值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数极值，首先令导函数等于0，确定极值点，再分析极值点两边函数单调性，从而确定极大值或极小值，切记不等价于函数取极值。‎ ‎13．函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目求出函数的极大值和极小值，要使与有三个交点，则可得到的取值在极大值和极小值之间。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 令，解得或，易得当时，，单调递增，‎ 当，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以为极大值，为极小值，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像交点个数，一般通过函数的大致图像和极值点决定。‎ ‎14．已知偶函数的导函数为，且满足，当 时，，使得的取值范围为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题目中已知的不等式构造出或的不等式，从而找出新函数的单调性及零点，转而求不等式。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，令，‎ ‎，‎ 又因为，当时，，‎ 所以函数 在为增函数，‎ 又因为，所以，‎ 所以当时， ，‎ 又因为为偶函数，所以当时，可得，‎ 综上的解集为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造函数解不等式，必须熟记和，重点利用以上两种函数构造新函数，从而解出不等式。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．已知曲线.‎ ‎(Ⅰ) 求曲线在处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)直接利用导函数的定义便可得到函数在处切线的斜率，然后将代入点斜式方程可直接得出切线方程。‎ ‎(Ⅱ)设出切点，利用点斜式写出直线方程，因为直线过原点，将原点坐标代入，可得到切点坐标，从而得到切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意得，所以， ，可得切线方程为，整理得。‎ ‎(Ⅱ)令切点为，因为切点在函数图像上，所以，，所以在该点的切线为 ‎ 因为切线过原点，所以，解得，可得切点为， ，，所以切线方程为或。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数函数切线问题，若已知切点，则直接利用写出切线方程即可；在此需要注意在某点的切线和过某点的切线的区别。‎ ‎16．已知函数 ，讨论函数的单调区间.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，然后对分类讨论分别得出 所对应的的取值范围即为函数的单调增区间，所对应的的取值范围即为函数的单调减区间。‎ ‎【详解】‎ 由题意得函数定义域为 ，，‎ 当时，令，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。‎ 同理当时，当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。‎ 当时，在定义域内大于0恒成立，所以在单调递增 ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于0或者小于0讨论函数单调性，分类时一般利用有无解对参数进行分类。‎ ‎17．已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 当时，求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为，单调递减区间为.(Ⅱ) 见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)当时，求得函数的导数，利用导函数取值的正负，即可得出函数的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)由 （Ⅰ）知，分类讨论得到函数在区间上的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意，当时，函数，‎ 则，‎ 令，即，即，解得或，‎ 所以函数在，上单调递增，‎ 令，即，即，解得，‎ 所以函数在上单调递减。‎ 即函数 的单调递增区间为，的单调递减区间为.‎ ‎(Ⅱ) 由函数，则，‎ 令，即，即，解得或，‎ ‎（1）当，即时，此时当时，，所以在上单调递减，所以最大值为；‎ ‎（2）当，即时，‎ ‎①当时，即时，此时当时，，所以在上单调递减，所以最大值为；‎ ‎②当时，即时，此时当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以最大值为；‎ ‎③当时，即时，此时当时，，所以在上单调递增，所以最大值为；‎ ‎（3）当时，函数在区间上单调递减，最大值为，‎ 综上所述，可得：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性，以及根据函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。‎ ‎18．已知，且不等式对任意的恒成立.‎ ‎(Ⅰ) 求与的关系；‎ ‎(Ⅱ) 若数列满足：，，为数列的前项和.求证：；‎ ‎(Ⅲ) 若在数列中，，为数列的前项和.求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)证明略； (Ⅲ)证明略.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 由题意，令，可得，由不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，得到是函数的极大值点，利用导数，即可求解。‎ ‎ (Ⅱ) 由（Ⅰ）令，得到 ，即 又由，即可作出证明；‎ ‎(Ⅲ)令，求得恒成立，当且仅当取等号，令，得到成立，进而得到，利用累加法，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ) 由题意，令，可得，‎ 由不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，‎ 所以函数在处取得最大值，也是极大值，‎ 因为，所以，所以，‎ 又因为，所以函数在处取得极大值，符合题意，‎ 所以正数的关系为。‎ ‎(Ⅱ) 由（Ⅰ）令，不等式对任意的恒成立，‎ 所以 ，即 又由，‎ 所以数列的前项和，‎ 又由，所以，即成立。‎ ‎(Ⅲ) 由数列中，，为数列的前项和，所以，‎ 令，则，‎ 当时，，则在单调递减，‎ 当时，，则在单调递增，‎ 所以当，函数取得最小值，最小值为，即恒成立，‎ 即成立，即恒成立，当且仅当取等号，‎ 令，所以，即成立，‎ 所以 所以 ‎ ，‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎