辽宁省丹东市凤城市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

辽宁省丹东市凤城市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

数学科试卷 一.选择题：（每题5分，共计60分）‎ ‎1.为虚数单位，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的结果，然后利用虚数单位的运算性质计算的结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 因为，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和虚数单位的运算性质，难度较易.虚数单位的运算性质：，，，（）.‎ ‎2.已知集合，关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是( )‎ A. (－∞，－1] B. (－∞，－1) C. (－1，＋∞) D. [－1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的性质求出集合，根据交集的运算和条件求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：由得，解得，‎ 所以，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的性质，以及交集的运算，属于基础题．‎ ‎3.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数去掉A,B，再根据函数值去掉C.‎ ‎【详解】令，则，函数为偶函数，排除AB选项；‎ 当时， ，而，则，‎ 排除选项C.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎4.在中，，若为的中点，为中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出三角形，结合平面向量基本定理进行求解即可 ‎【详解】如图；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，熟悉线性运算的加法和减法公式是解题关键，此类题型需要明确哪两组向量属于基底向量，后续整个变换都围绕这两个基底向量展开即可，属于中档题 ‎5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|•|PF2|=a2，可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b=c，计算即可得到椭圆的离心率．‎ ‎【详解】由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，‎ 又|PF1|•|PF2|=a2，‎ 可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，‎ ‎|OP|=b，且|OP|=|F1F2|=c，‎ 即有c=b=，‎ 即为a=c，e==．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】求解离心率常用方法 ‎1.利用公式，直接求.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解． ‎ ‎4变用公式,整体求出：以椭圆为例,如利用,.‎ ‎6.在中三条边，，成等差数列,且，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质、余弦定理，求出，再结合即可求解.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ 由余弦定理可得：‎ 即 ，解得： ‎ 所以 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质、余弦定理以及三角形面积公式，属于基础题.‎ ‎7.设等差数列的前项和为，若则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的通项公式知，再由等差数列的前项和公式知，即可得答案．‎ ‎【详解】，，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前项和公式的合理运用．‎ ‎8.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据古典概型概率公式求出两人被封同一等级的概率,再用对立事件的概率公式可求得.‎ ‎【详解】给有巨大贡献的人进行封爵,总共有种,‎ 其中两人被封同一等级的共有5种,‎ 所以两人被封同一等级的概率为,‎ 所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式.属于基础题.‎ ‎9.正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点为，连接，得到 BD与PE所成角为，在中，利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：取中点为，连接，易知 ‎ 故BD与PE所成角为 在中， ‎ 利用余弦定理得到： ‎ 解得 故选 ‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎10.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的解析式，根据在上递增可得，再根据最大的负零点的范围可得，故可得的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 令，则.‎ 故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为，‎ 所以，所以.‎ 令，则，故，‎ 最大的负零点为，所以即，‎ 综上，，故选B.‎ ‎【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑.‎ ‎11.定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．‎ ‎【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，‎ 由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，‎ 由图象可知，，当时，，‎ 则函数与函数在上没有交点，‎ 结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．‎ ‎12.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取化简得到，设，求导确定函数图像得到答案.‎ ‎【详解】取 设，，在上单调递增，上单调递减 画出函数图像：‎ ‎ 根据图像知：‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键.‎ 二．填空题（每题5分，共计20分）‎ ‎13.曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎（e）．‎ 即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，‎ 又（e）．‎ 曲线在点，（e）处的切线方程为，‎ 即．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．‎ ‎14.已知，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由化简解出,再将 ‎ 化简得,代入即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了同角的三角函数值的关系,和三角函数的恒等变换,注意角的取值范围,属于基础题.‎ ‎15.已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】先分离参数a得,因x∈[1,2],y∈[2,3],则∈[1,3],‎ 设=t,则转化为=f(t),f(t)在[1,3]上是减函数,‎ 所以f(t)≤f(1)=-1,要使原不等式恒成立,只需a≥f(1)即a≥-1.‎ ‎16.已知球的表面上三点、、满足：，，‎ ‎，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则、两点的球面距离是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由球心到截面圆的距离、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，再根据弧长公式即可得到、两点的球面距离．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴是以∠ABC为直角的直角三角形 即平面ABC所在的截面圆是以AC为直径的圆，‎ 设AC中点为P，因为球心到该截面的距离为球的半径的一半，‎ 则 大圆中，的球心角，‎ 即、两点的球面距离是．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了球体中截面圆到球心的距离的知识点，以及球面距离的求法，关键在于求出球的半径，属于中等题．‎ 三．解答题 ‎17.已知正项等比数列满足，，数列满足. ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和；‎ ‎（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，则，根据条件可求出的值，利用等比数列的通项公式可求出，再由对数的运算可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和为；‎ ‎（3）利用数列单调性的定义求出数列最大项的值为，由题意得出关于的不等式对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在时的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由可得，‎ ‎，，即，，解得，.‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，‎ 可得，‎ 上式下式，得，‎ 因此，；‎ ‎（3），，‎ ‎，，即，则有.‎ 所以，数列是单调递减数列，则数列的最大项为.‎ 由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，.‎ 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，‎ 则在时的最小值为，，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由题意可得，运用直线的斜率公式，化简即可得到点的轨迹曲线； （2）设，由题意知的斜率一定不为0，设，代入椭圆方程整理得关于的二次方程，假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，利用韦达定理可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程即可求出，由此可求出点的坐标，发现矛盾，故不存在．‎ ‎【详解】解：（1）设，有，‎ 得，‎ 整理得，‎ ‎∴曲线的方程为；‎ ‎（2）假设存在符合条件的点，由题意知直线的斜率不为零，‎ 设直线的方程为 由，得：‎ 则 由四边形为平行四边形，‎ 得 点坐标代入方程得：，‎ 解得 ‎∴此时，但，‎ 所以不存在点使得四边形为平行四边形.‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎010‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】(1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率和为1，列出方程求值；‎ ‎（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，‎ 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，‎ 知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，‎ 可知，‎ 解得；‎ ‎（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 所以晋级成功的人数为（人），‎ 填表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，‎ 将频率视为概率，‎ 则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，‎ 所以可视为服从二项分布，即，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望为.或（）．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.‎ ‎20.如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. ‎ ‎（1）证明：直线平面 ‎（2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求平面与平面所成的二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取CD中点O,连接MO，由面面垂直的性质定理得到线面垂直，再由线面平行的判定定理即证明MOAB，得到线面平行；‎ ‎（2）取中点，连，，以为原点，直线、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得到与平面的法向量的坐标，再求线面角的正弦值，从而得到线面角的大小；‎ ‎（3）分别求出两个面的法向量，再求法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系得到二面角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）取CD中点O,连接MO，平面平面，则平面，‎ 平面，所以MOAB.‎ 又面MCD，面MCD,所以面MCD.‎ ‎（2）取中点，连，，则，，‎ 又平面平面，则平面.‎ 以为原点，直线、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.‎ ‎，则各点坐标分别为，，，，，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 因为，平面的法向量为， ‎ 则有，所以.‎ ‎（3），.设平面的法向量为，‎ 由得.解得，，取， ‎ 又平面的法向量为，则 设所求二面角为，则.‎ ‎【点睛】本题考查空间中平行、垂直位置关系的证明、向量法求线面角、二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，建系时要注意先证明三条直线两两互相垂直.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.‎ ‎【答案】(1) ①当时，在上单调递增；‎ ‎②当时，在上单调递增，在单调递减； ‎ ‎(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，分类讨论函数的正负性，求出单调区间；‎ ‎（2）对式子进行化简，结合，得到 ‎，计算的值，‎ 令，，，利用导数判断的单调性，‎ 证出，设，，‎ 则，‎ 在上单调递增，.‎ ‎【详解】（1）解：由题意得 ，，‎ ‎①当时，在上恒成立，在上单调递增；‎ ‎②当时，令则；令则，‎ 在上单调递增，在单调递减； ‎ ‎（2）证明：当时， ，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，，，则，，‎ ‎，，‎ 设，，则，‎ 在上单调递增，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调区间、利用导数证明不等式．‎ 二选一，从22和23选一道作答 ‎22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）当时，求的长度；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，当时，直线，代入曲线可得，解得或，从而可得；（2）将代入到得，‎ ‎，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.‎ 详解：（1）曲线的方程是，化为 化为，∴‎ 曲线方程为 当时，直线 代入曲线可得，解得或 ‎∴.‎ ‎（2）将代入到得，‎ 由，得 化简得（其中），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ . ‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23.已知．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义分类求解，求得解集；‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式以及均值不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式可化为：，或，或解得：‎ 或，故不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ‎ ‎（当且仅当即即时取等号）.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的应用，题目较灵活，技巧性较强，意在考查学生对于绝对值不等式的相关理解，难度中等.‎