数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（　　）‎ A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣2‎ ‎2．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）‎ ‎4．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（　　）‎ A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2‎ ‎5．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[0，4] B．（0，4） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（　　）‎ A．（1，2，﹣6） B．（﹣2，1，1） C．（1，﹣2，2） D．（4，﹣2，1）‎ ‎9．双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（　　）‎ A．4 B． C．2 D．4‎ ‎10．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎12．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的　　条件 ‎14．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是　　．‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．‎ 其中真命题的是　　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎16．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．根据下列条件，求曲线的标准方程 ‎（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程 ‎（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．‎ ‎18．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．‎ ‎19．已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1‎ ‎（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．‎ ‎20．已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，‎ ‎（1）求直线l的方程 ‎（2）求直线l被椭圆截得的弦长．‎ ‎21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（　　）‎ A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣2‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，‎ ‎∴命题的否定是：∃x0∈R，x0＜2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．‎ ‎【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；‎ 命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；‎ 所以p∧￢q为真命题；‎ 故选D；‎ ‎　‎ ‎3．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆标准方程x2+=1，‎ 则其焦点在y轴上，且c==3，‎ 则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（　　）‎ A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴x2﹣4x﹣12=0‎ ‎∴x=6，x=﹣2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[0，4] B．（0，4） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】已知若命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．命题p是假命题，推出¬p是真命题，说明方程x2+ax+a≥0恒成立，根据判别式与根的关系进行求解；‎ ‎【解答】解：∵若命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．命题p是假命题，‎ 则¬p是真命题，说明方程x2+ax+a≥0恒成立，‎ ‎∴△=a2﹣4a≤0，‎ 解得0≤a≤4，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由 得 b=2a，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，‎ 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，‎ 即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（　　）‎ A．（1，2，﹣6） B．（﹣2，1，1） C．（1，﹣2，2） D．（4，﹣2，1）‎ ‎【考点】直线的方向向量．‎ ‎【分析】设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，即可得出．‎ ‎【解答】解：设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，∴，‎ 取x=1，解得y=﹣2，z=2．‎ ‎∴=（1，﹣2，2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（　　）‎ A．4 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的y2=8x的焦点，确定双曲线的几何量，即可求得双曲线E的虚轴长．‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线的y2=8x的焦点是（2，0），所以a=2‎ ‎∵双曲线离心率等于2，‎ ‎∴c=4‎ ‎∴双曲线E的虚轴长2b=2=4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】在平行六面体ABCD﹣EFGH中， =++，结合=2x+3y+3z， =﹣，求出x，y，z，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在平行六面体ABCD﹣EFGH中， =++，‎ ‎∵=2x+3y+3z， =﹣，‎ ‎∴2x=1，3y=1，3z=﹣1，‎ ‎∴x=，y=，z=，‎ ‎∴x+y+z=，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，，‎ 又，可得，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，‎ 所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．‎ 因为∠F1MF2=90°，‎ 所以，即，即，‎ 因为，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的　必要不充分　条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是四种命题及充要条件的定义，根据p是q的充分不必要条件，我们易得到p⇒q与q⇒p的真假，然后根据逆否命题真假性相同，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴p⇒q为真命题，q⇒p为假命题，‎ 故┐p⇒┐q为假命题，┐q⇒┐p为真命题 故┐p是┐q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分 ‎　‎ ‎14．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是　1　．‎ ‎【考点】直线的方向向量．‎ ‎【分析】由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），l⊥m，‎ ‎∴=﹣1+t=0，‎ 解得t=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．‎ 其中真命题的是　①④　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；‎ ‎②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；‎ ‎③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；‎ ‎④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．‎ ‎【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），‎ ‎∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴直线l与m垂直，①正确；‎ 对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），‎ ‎∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，‎ ‎∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；‎ 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），‎ ‎∴与不共线，‎ ‎∴α∥β不成立，③错误；‎ 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），‎ ‎∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），‎ 向量=（1，u，t）是平面α的法向量，‎ ‎∴，‎ 即；‎ 则u+t=1，④正确．‎ 综上，以上真命题的序号是①④．‎ 故答案为：①④．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．‎ ‎【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．‎ 取M（1，4），则AM的斜率为2，‎ 由已知得﹣×2=﹣1，‎ 故a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）‎ ‎17．根据下列条件，求曲线的标准方程 ‎（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程 ‎（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出a，b，即可得出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）分类讨论，求出p，即可求出抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，a=2，c=4，b=2，‎ ‎∴双曲线的标准方程是﹣=1；‎ ‎（2）当对称轴为x轴，则焦点坐标为（2，0），即p=4．故抛物线方程为y2=8x．‎ 当对称轴为y轴，则焦点坐标为（0，﹣3），即p=6．故抛物线方程为x2=﹣12y．‎ 综上，所求抛物线的方程为y2=8x或x2=﹣12y．‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵y=kx+1在R递增，‎ ‎∴k＞0，‎ 由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，‎ ‎∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，‎ ‎∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，‎ ‎∴命题p，q一真一假，‎ ‎①若p真q假，则，‎ ‎∴＜k＜；‎ ‎②若p假q真，则，‎ ‎∴k≤0；‎ 综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．‎ ‎　‎ ‎19．已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD ‎（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1‎ ‎（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．由DC⊥平面ADD1A1，可得是平面ADD1A1的一个法向量．证明=0，即可证明．‎ ‎（2）设平面DMN的一个法向量为=（x，y，z）．利用，可得．利用sinθ=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．‎ ‎∵DC⊥平面ADD1A1，∴=（0，2，0），就是平面ADD1A1的一个法向量．‎ ‎，∴，∴=0，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）设平面DMN的一个法向量为．‎ ‎∴，∴．‎ 取=．‎ ‎∴sinθ==．‎ 所以直线DA与平面ADD1A1，所成角的正弦位值是．‎ ‎　‎ ‎20．已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，‎ ‎（1）求直线l的方程 ‎（2）求直线l被椭圆截得的弦长．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣4），交点A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．‎ ‎（2）利用弦长公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣4），交点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为：（1+4k2）x2+8k（2﹣4k）x+4（2﹣4k）2﹣36=0．（*）‎ ‎∴x1+x2==8，解得k=﹣‎ ‎∴直线l的方程为：x+2y﹣8=0．‎ ‎（2）把k=﹣代入方程（*）可得：x2﹣8x+14=0，‎ ‎∴x1+x2=8，x1x2=14．‎ ‎∴|AB|===．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明，即可证明AC⊥BC1．‎ ‎（2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得，即DE∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．‎ ‎（3）设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，可求得平面CDB1的一个法向量为．取平面CDB的一个法向量为，利用=即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），‎ D．‎ ‎∵，∴，即AC⊥BC1．‎ ‎（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），，‎ ‎∴，即DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1．‎ ‎（3）解： =，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，‎ 可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．‎ 取平面CDB的一个法向量为，‎ 则===．‎ 由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率等于，原点O到直线的距离等于b及隐含条件c2=a2﹣b2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆C的标准方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题意得⇒a2=4，b2=3．‎ ‎∴椭圆的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则A，B的坐标满足，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．‎ ‎，‎ 由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=‎ ‎==．‎ ‎∵=，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，即2m2﹣4k2=3．‎ ‎∵=‎ ‎=．‎ 又O点到直线y=kx+m的距离d=，‎ ‎∴=‎ ‎==为定值．‎ ‎　‎