2020高中数学 第三章导数的几何意义

2020高中数学 第三章导数的几何意义

‎3.1.3　‎导数的几何意义 学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．导数的几何意义 ‎(1)切线的定义 设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝ ＝f′(x0)．‎ ‎(2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ 思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？‎ ‎[提示]　不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．‎ ‎2．导函数的概念 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点． (　　)‎ ‎(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点． (　　)‎ ‎(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线． (　　)‎ ‎(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．‎ ‎ (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)‎ A．不存在　　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 8‎ B　[由f′(x0)＝0知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合．]‎ ‎3．如图315所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　) ‎ ‎【导学号：97792127】‎ 图315‎ A． B．1‎ C．2 D．0‎ C　[由题意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，则f(5)＋f′(5)＝2.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求曲线的切线方程 ‎　(1)y＝－在点处的切线方程是(　　)‎ A．y＝x－2　　　　　　 B．y＝x－ C．y＝4x－4 D．y＝4x－2‎ ‎(2)已知曲线y＝x3－x＋2，则曲线过点P(1,2)的切线方程为__________．‎ ‎[思路探究]　(1)先求y′|x＝，即切线的斜率，然后写出切线方程．‎ ‎(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．‎ ‎[解析]　(1)先求y＝－在x＝处的导数：Δy＝－＋＝.‎ y′|x＝＝ ＝ ＝4.‎ 所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.‎ ‎(2)设切点为(x0，x－x0＋2)，则得y′|x＝x0‎ ‎＝ 8‎ ‎＝ ((Δx)2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1.‎ 所以切线方程为y－(x－x0＋2)＝(3x－1)(x－x0)．‎ 将点P(1,2)代入得：‎ ‎2－(x－x0＋2)＝(3x－1)(1－x0)，‎ 即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，所以x0＝1或x0＝－，‎ 所以切点坐标为(1,2)或，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即2x－y＝0，‎ 当切点为时，切线方程为y－＝－x＋，‎ 即x＋4y－9＝0，所以切线方程为2x－y＝0或x＋4y－9＝0.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)2x－y＝0或x＋4y－9＝0‎ ‎[规律方法]　1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 ‎2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤 ‎(1)设切点(x0，y0)‎ ‎(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)‎ ‎(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)‎ ‎(4)写出切线方程．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为__________．‎ x＋2y＋4＝0　[y′＝ ＝ ‎＝ ＝－，‎ 因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－＝－.‎ 8‎ 由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]‎ ‎(2)试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程. ‎ ‎【导学号：97792128】‎ ‎[解]　设所求切线的切点为A(x0，y0)．‎ ‎∵点A在曲线y＝x2上，‎ ‎∴y0＝x，又∵A是切点，‎ y′＝ ＝ ＝2x.‎ ‎∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0.‎ ‎∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，‎ ‎∴其斜率为＝.‎ ‎∴2x0＝，‎ 解得x0＝1或x0＝5.‎ 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．‎ 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；‎ 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.‎ ‎∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.‎ 求切点坐标 ‎　在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线：‎ ‎(1)平行于直线y＝4x－5；‎ ‎(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；‎ ‎(3)倾斜角为135°.‎ 分别求出满足上述条件的点的坐标．‎ ‎[思路探究]　先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上，易得y0.‎ ‎[解]　设y＝f(x)，则f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．‎ ‎(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即 8‎ P(2,4)．‎ ‎(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.‎ ‎(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.‎ ‎[规律方法]　解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知抛物线y＝2x2＋1，求 ‎(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?‎ ‎(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?‎ ‎[解]　设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2‎ ‎∴＝4x0＋2Δx ‎∴y′|x＝x0＝ ＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.‎ ‎(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，‎ ‎∴斜率为4，‎ 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，‎ 该点为(1,3)．‎ ‎(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，‎ ‎∴斜率为8，‎ 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，‎ 该点为(2,9)．‎ 导数几何意义的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？‎ 提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．‎ 8‎ ‎2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？‎ 提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．‎ 如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　)‎ 图316‎ ‎[思路探究]　根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．‎ ‎[解析]　函数的定义域为(0，＋∞)，‎ 当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；‎ 当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；‎ 当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.‎ ‎[答案] D ‎[规律方法]　函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)‎ 图317‎ k1>k3>k2　[由导数的几何意义可得k1>k2，又k3＝表示割线AB的斜率，‎ 所以k1>k3>k2.]‎ 8‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)‎ A．f′(x0)＞0　　　　　 B．f′(x0)＜0‎ C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 B　[由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－，‎ ‎∴f′(x0)＝－＜0.]‎ ‎2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6‎ D　[∵y＝2x3，∴y′＝ ＝ ‎＝2 ‎＝2 [(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.‎ ‎∴y′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]‎ ‎3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．‎ ‎(3,30)　[设点P(x0,2x＋4x0)，‎ 则f′(x0)＝ ‎＝ ＝4x0＋4，‎ 令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．]‎ ‎4．曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程为________. ‎ ‎【导学号：97792129】‎ ‎2x－y－2＝0　[Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，‎ ‎∴＝2＋Δx.‎ ‎∴y′|x＝2＝ (2＋Δx)＝2.‎ ‎∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.‎ ‎∴切线方程为y－2＝2(x－2)，‎ 即2x－y－2＝0.]‎ ‎5．函数f(x)的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，的大小关系．‎ 8‎ 图318‎ ‎[解]　设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．‎ 则＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ＜kAB＜kAT，‎ ‎∴0＜f′(3)＜＜f′(1)．‎ 8‎