2017-2018学年四川省乐山四校高二上学期半期联考数学理试题 Word版

2017-2018学年四川省乐山四校高二上学期半期联考数学理试题 Word版

‎2017-2018学年四川省乐山四校高二上学期半期联考数学理科试题 命题教师：蔡赓全 审题教师： 邓亚欢 本试卷分选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择题）3至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎ 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎ 5.考试结束后，只将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一．选择题（每题5分，共60分)‎ ‎1.下列命题是真命题的为（ ）‎ A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 ‎2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）‎ A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ‎3. 平面平面的一个充分条件是（ ）‎ A.存在一条直线， ‎ B.存在一条直线，‎ C.存在两条平行直线 ‎ D.存在两条异面直线 ‎4. 已知命题命题则下列命题是真命题的为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.已知直角三角形的三个顶点在半径为的球面上，两直角边的长分别为和，则球心到平面的距离为（ ）‎ A.5 B.6 C.10 D.12‎ 8. 已知平面外不共线的三点到平面的距离都相等，则正确的结论是（ ）‎ A.平面必平行于平面 B.平面必与平面相交 C.平面必不垂直于平面 D.存在的一条中位线平行于平面或在平面内 ‎9.如图，是夹在的二面角之间的一条线段，,且直线与平面分别成的角，过作于,过作于.则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值与的取值范围分别为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知二面角的大小为，直线平面，直线平面，则过直线上一点，与直线和直线都成的直线有（ ）‎ A.四条 B.三条 C.两条 D.一条 ‎12.如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二．填空题（每题5分，共20分）‎ 侧视图 正视图 俯视图 ‎13.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 个部分.‎ ‎14.如右图，一个空间几何体的正视图、‎ 侧视图都是周长为4，一个内角为的菱形，‎ 俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的 ‎ 表面积为 ．‎ ‎15.已知空间三条直线，且有则直线与平面所成的角为.‎ ‎16.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题 ‎⑴点是的垂心 ⑵平面⑶二面角的正切值为 ‎⑷点到平面的距离为则正确的命题有 .‎ 三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）‎ ‎17.如图，四棱锥中，分别为线段的中点. ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：.‎ ‎18.如图，在平行六面体中，,‎ ‎ 且点F为的交点，点在线段上，有 （1） 求的长；‎ （2） 将用基向量来进行表示。设，求的值.‎ ‎19.某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是，其中 ‎（1）画出该几何体的直观图；‎ ‎（2）分别求该几何体的体积和表面积.‎ ‎6‎ 侧视图 ‎6‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 ‎2‎ 20. 已知设成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎21.如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.‎ 图2‎ 图1‎ 22. 如图，在四棱锥中，,,‎ ‎,点为中点.‎ （1） 证明：;‎ （2） 求直线与平面所成角的正弦值；‎ （3） 若为棱上的一点，满足，求二面角的余弦值.‎ 乐山四校高2019届第三学期半期联考数学理科试题 答案 一．选择题.‎ ‎1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 11.B 12.C 二．填空题 ‎13.7 14. 15. 16.⑴⑵⑶‎ 三．解答题 17. 解：(1)设，连接 ‎ 由于为的中点，‎ ‎ 所以四边形ABCE为菱形。‎ ‎ 又为中点，为中点 可得 ···4分 又 所以 ···5分 （2） 因为，所以四边形为平行四边形 ‎ 则 ‎ 又 所以。 ···7分 ‎ 因为四边形为菱形，所以 ···9分 又 所以 ···10分 18. ‎（1） ···2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ···6分 ‎ （2） ···8分 ‎ ···10分 ‎ ‎ ‎ ···12分 17. ‎(1)经分析底面为边长为4的等边三角形，且侧棱垂直于底面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ···4分 ‎ ‎ ‎(2) 体积 ···8分 表面积 ···12分 ‎20.解：若为真：对，恒成立，‎ 设，配方得，所以在上的最小值为，‎ 所以，解得，所以为真时：； ···3分 若为真：，成立，所以成立.‎ 设，‎ 易知在上是增函数，所以的最大值为，所以，所以为真时，， ···6分 因为”为真，“”为假，所以与一真一假， ···8分 当真假时，所以，‎ 当假真时，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是或. ···12分 21. 解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以 ‎ 又 ‎ 则。 ···3分 （2） 因为，所以 ‎ 又，所以 ···5分 因为所以 又 因为 ···7分 （3） 在线段上存在满足条件的点，且点为其中点，使 证明如下：‎ 取中点为点，连接 ‎ 因为为相应边的中点，所以 而，则 所以四边形为平行四边形且与平面为同一平面 ···9分 因为 ‎ 由（2）知，则 又 ，所以 又因为 且，则 ···12分 ‎ ‎22.（法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，‎ ‎，，.由为棱的中点，得. ···1分 ‎（1）证明：向量，，故.即.··3分 ‎（2）解：向量，.‎ 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有 ···5分 ‎.‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ···7分 ‎（3）向量，，，.‎ 由点在棱上，设，且 故.‎ 由，得，‎ 因此，，解得.即. ···9分 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量.‎ 取平面的法向量，则 ‎.‎ 易知，二面角是锐角，所以其余弦值为. ···12分 ‎（法二）（1）证明：如图，取中点，连接，.‎ 由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.‎ 因为,故，而，从而，因，于是，又，所以 ···3分 ‎(2)连接，由(1)有，得，而，故.‎ 又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.‎ 所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角. ···5分 依题意，有，而为中点，可得，进而.‎ 故在直角三角形中，，因此.‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ···7分 ‎（3）如图，在中，过点作交于点.‎ 因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.‎ 在底面内，可得，从而.··9分 在平面内，作交于点，于是.‎ 由于，故，所以四点共面.‎ 由，，得平面，故.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理可得，.‎ 所以，二面角的余弦值为. ···12分