浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 设集合A={x|x-1≤0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（　　）‎ A. 11 B. ‎10 ‎C. 5 D. 9‎ 4. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则△ABC的面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A. 若,,则 B. 若,,,则 C. 若,,则 D. 若,,,则 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，则=（　　）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. 25‎ 7. 已知{an}是等比数列，a2=2，，则a‎1a3+a‎2a4+…+anan+2=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C-AB-D的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的， 不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（　　）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 二、填空题（本大题共7小题）‎ 11. 在等差数列{an}中，若a3+a6+a9=24，则a6=______，S11=______．‎ 12. 几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为______，几何体的外接球的直径为______． ‎ 13. 若直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tanα=______，=______．‎ 14. 已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是______，a+b的最小值是______．‎ 15. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=bcosA，则cosB=______．‎ 1. 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：①异面直线AB与CD所成的角为60°；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是______．（写出你认为正确的所有结论的序号）‎ 2. 已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 3. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）当时，求函数f（x）的值域． ‎ 4. 如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点． （1）证明：AE∥平面BDF； （2）若P、M分别为线段AE、CD的动点．当BE⊥PM时，试确定点P的位置，并加以证明． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5. 如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1的各棱长都是2，∠CAA1=60°，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点． （1）证明：DD1∥平面BCC1B1； （2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 1. 已知数列{an}满足a1=1，数列是公比为3的等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）当n≥2时，证明：； （3）设数列的前n项和为Sn，证明：． ‎ 2. 已知函数f（x）=x2+ax+b． （1）若b=3时，不等式f（x）≤x对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围； （2）若函数f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由A={x|x-1≤0}={x|x≤1}， B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}， 则A∩B={x|-2＜x≤1}， 故选：B． 分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可． 本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵lg2=a，lg3=b， ∴lg120=lg（10×3×4）=lg10+lg3+2lg2=1+b+‎2a． 故选：C． 由已知结合对数的运算性质求解lg120． 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，3）， 令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大， z有最大值为2×1+3×3=11． 故选：A． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：△ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=‎2A， 又A+B+C=π，∴A=， 由余弦定理知：a2=b2+c2-2bc×cosA，又a=3，c=2b， ∴32=b2+（2b）2-2b×2b×cos，得b=， ∴c=2b=2， ∴△ABC的面积为b×c×sinA=． 故选：B． 由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式b×c×sinA ‎，计算出答案． 本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算化简技巧与能力，属于中档题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知： 在A中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误； 在B中，若n⊥β，n⊥α，可得α∥β，由m⊥β，由线面垂直的判定定理得m⊥α，故B正确； 在C中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误； 在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误． 故选：B． 在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在C中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：如图， ∵∠C=90°， ∴， ∴，且BC=5， ∴=． 故选：C． 根据∠C=90°即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出． 本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为{an}是等比数列，a2=2，，所以公比q=， 因为，a‎1a3=4，所以a‎1a3+a‎2a4+…+anan+2=， 故选：D． 由知{an}是等比数列可得{anan+2}为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和． 本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：过A作A在底面的射影O， ∵A-BCD是正四面体，∴O是底面的中心， 取BC的中点E，连结OB，OE，AE， 则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO 二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等， 又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ=∠AEO， 在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°， ∵sinβ=sin∠ABO=，sinγ=sin∠AEO=， ‎ ‎∵AB＞AE， ∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α， 故选：D． 分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论． 本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增， 故f（x）在（-∞，0）递减， 时，x-2∈[-，-1]， 故f（x-2）≥f（1）， 若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立， 则时，|ax+1|≤1恒成立， 故-1≤ax+1≤1，x∈[，1]， 故-2≤ax≤0，x∈[，1]， 故-≤a≤0，x∈[，1]， 而a≥（-）max=-2， 故-2≤a≤0， 故选：A． 根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可． 本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，cos＜，＞==， 不妨设=（4，0），=（1，），=（cosθ，sinθ）， 则=|4cosθ|-|cosθ+sinθ|=3cosθ-sinθ=sin（θ-）， 所以最大值为2， 故选：B． 由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，，列出即可求出其最大值． 本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题． 11.【答案】8   88 ‎ ‎【解析】解：在等差数列{an}中，若a3+a6+a9=‎3a6=24，则a6=8， 故S11==‎11a6=88， 故答案为：8；88． 由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值． 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题． 12.【答案】   2 ‎ ‎【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD， 几何体的体积为：=． 四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度， 可得外接球的直径：=2‎ ‎． 故答案为：；2． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题． 13.【答案】   ‎ ‎【解析】解：由题意可得：tan=． ∴tanα==． ∴=====． 故答案为：，． 由题意可得：tan=．理念倍角公式可得tanα．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tanα即可得出． 本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】   ‎ ‎【解析】解：①因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0， 所以3ab=a+2b≥， 所以或（舍）， 所以ab≥，所以ab的最小值为； ②由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得， 所以a+b==≥=， 当且仅当，即a=，b=， 所以a+b的最小值为． 故答案为：；． ①根据条件可得3ab=a+2b≥，解不等式可得ab的最小值； ②根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可． 本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵b2=ac，且a=bcosA， ∴a=b•，∴b2+c2-a2=‎2ac=2b2， ∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形． 由余弦定理，有cosB=， ∴cosB=== =cos‎2A=sin2B=1-cos2B， ∴cos2B+cosB-1=0， ∴cosB=或（舍）， 故答案为：． 根据条件可知△ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cosB的一元二次方程，再求出cosB即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 16.【答案】①②③④ ‎ ‎【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO， ∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角， ∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系， 设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）， =（0，-1，-1），=（-1，1，0）， cos＜，＞===-， ∴异面直线AB与CD所成的角为60°，故①正确； =（1，0，-1），=（0，2，0）， ∵=0，∴AC⊥BD， 故②正确； ∵OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直， ∴AC=CD=AD=，∴△ACD是等边三角形，故③正确； 平面BCD的法向量=（0，0，1）， =（0，1，1），=（1，1，0）， 设平面ABC的法向量=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，-1，1）， cos＜＞=， ∴sin＜＞==． ∴二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故④正确． 故答案为：①②③④． 取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设y=（‎4a-2）x+，y=x2+ax-， 由△=a2+＞0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点， 分别作出y=（‎4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得‎4a-2≥0，不满足题意； 则‎4a-2＜0，即a＜，且y=（‎4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0）， 即有（‎4a-2）x2+=0，即x2=， 代入x2+ax-=0，化为‎48a2‎-40a+7=0， 解得a=或a=＞（舍去）， 故答案为：． 设y=（‎4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（‎4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论‎4a-2≥0，不符题意；‎4a-2＜0，且y=（‎4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a ‎，检验可得所求值． 本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题． 18.【答案】解：（1）∵， =4cosx（+sinx）， =4cosx（）=6sinxcosx-2cos2x， =3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-， ∴T=π， 由2x-=可得对称轴x=，k∈Z， （2）由，可得， ∴sin（2x-）， 2sin（2x-）-， ∴2sin（2x-）-， 函数f（x）的值域为[-3-，]． ‎ ‎【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求； （2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域． 本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题． 19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF， ∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点， 又F为EC的中点，∴OF∥AE， ∵OF⊂面BDF，AE⊄面BDF， ∴AE∥面BDF． （2）解：当PM⊥BE时，点P为AE的中点． 证明如下： 取BE的中点H，连结DP，PH，CH， ∵P为AE的中点，H为BE的中点， ∴PH∥AB． 又AB∥CD，∴PH∥CD， ∴P，H，C，D四点共面， ∵面ABCD⊥面BCE，且面ABC∩面BCE=BC， CD⊥BC，CD⊂面ABCD， ∴CD⊥面BCE， 又BE⊂面BCE，∴CD⊥BE， ∵BC=CE，且H为BE的中点， ∴CH⊥面BCE， 又CH∩CD=C，且CH，CD⊂面DPHC， ∴BE⊥平面DPHC， 又PM⊂平面DPHC， ∴PM⊥BE． ‎ ‎【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥面BDF． （2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PH∥AB．PH∥CD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD⊥面BCE，CD⊥BE，从而CH⊥面BCE，进而BE⊥平面DPHC，由此能证明PM⊥BE ‎． 本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题． 20.【答案】解：（1）证明：取A‎1C1中点M，连结DM，D‎1M， ∵D‎1M是A△A1B‎1C1的中位线，∴D‎1M∥B‎1C1， ∵D‎1M⊄平面BCC1B1， ∴DM∥平面BCC1B1， 又DD1⊂平面DMD1，∴DD1∥平面BCC1B1． （2）解：CC1∥AA1， ∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值， 连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH， 由条件知△AA‎1C是正三角形，∴AC⊥DA1， 同理，AC⊥DB， 又∵DB∩DA1=D，∴AC⊥平面BDA1， ∵A1H⊂平面BDA1，且A1H⊥BD，∴A1H⊥平面ABC， ∴∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角， 由条件知DB=DA1=， ∴cos∠BDA1=-，∴∠BDA1=120°， ∴∠A1DH=60°，A1H=， ∵AA1=2，∴sin∠A1AH==， ∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为． ‎ ‎【解析】（1）取A‎1C1中点M，连结DM，D‎1M，推导出D‎1M∥B‎1C1，由此能证明DD1∥平面BCC1B1． （2）由CC1∥AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，推导出AC⊥DA1，AC⊥DB，从而AC⊥平面BDA1，进而A1H⊥平面ABC，∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值． 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即． （2）证明：当n≥2时，，所以原式成立． （3）证明：当n=1时，， 当n≥2时，=， 所以成立． ‎ ‎【解析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为Sn，构造等比数列证明不等式． （1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题． 22.【答案】解：（1）由题意可得，f（x）=x2+ax+3≤x对x∈[1，4]恒成立， 变形可得：ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立， 则a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立， 设g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，则g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减， 又由g（1）=-3，g（4）=-，则g（1）＞g（4）， 故g（x）min=g（4）=-， ∴必有a， ∴a的取值范围是（-∞，]‎ ‎； （2）根据题意，若f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点， 则有，即， 由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行域，A（-4，4） ∴-12＜a-2b＜0， ∴a-2b的取值范围是（-12，0）． ‎ ‎【解析】（1）由题意可得，ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，变形化为a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立， 构造函数g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，根据对勾函数的图象性质知g（x）在[1，]上单调递增， [，4]上单调递减，又由g（1）＞g（4），求出a的取值范围； （2）根据题意，找到f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决． 本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题． ‎