专题51 直线与椭圆-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题51 直线与椭圆-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题51直线与椭圆 最新考纲 ‎1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．‎ ‎2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】直线与椭圆的位置关系 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：椭圆，和直线，‎ 设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），‎ ‎∴椭圆上的点P到直线l的距离：‎ d，其中tanγ ‎∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 椭圆E：1的右焦点为F2，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，当△F2AB的周长最大值为8时，则m的值为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【解答】解：椭圆E：1的右焦点为F2，F1为左焦点，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，‎ 则△F2AB的周长l＝AB+F‎2A+F2B＝AB+‎2a﹣F‎1A+‎2a﹣F1B ‎＝‎4a+（AB﹣F‎1A﹣F1B）‎ 由于F‎1A+F1B≥AB，‎ ‎∴当F1、A、B三点共线时，△F2AB的周长最大，为‎4a＝8，则a＝2．‎ 椭圆的方程为：．‎ ‎∵直线直线y＝x+m经过左焦点（），‎ ‎∴m．‎ 故选：B．‎ 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 ‎(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．‎ ‎(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．‎ ‎【题型二】弦长及弦中点问题 命题点1　弦长问题 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，求|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，即b＝1，‎ ‎∵椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上，‎ 当y＝0时，解得x＝﹣1或x＝5，‎ ‎∴c＝1或c＝5，‎ 当c＝1时，a2＝b2+c2＝2，此时椭圆方程为y2＝1，‎ 当c＝5时，a2＝b2+c2＝26，y2＝1，‎ ‎（2）椭圆的焦距小于4，则‎2c＜4，则c＜2，故c＝1，‎ 此时椭圆方程为y2＝1，‎ 此时椭圆的左焦点F（﹣1，0），设直线l的方程为x＝my﹣1，‎ 由，消x可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴y1+y2，①，y1y2，②‎ ‎∵，‎ ‎∴（﹣1﹣x1，﹣y1）＝3（x2+1，y2），‎ ‎∴y1＝﹣3y2，③，‎ 由①②③可得m2＝2，‎ ‎∴|AB|•••． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y2＝2上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵焦点和短轴端点都在圆C上，‎ ‎∴b＝c，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∵椭圆焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎（Ⅱ）显然切线斜率不为0；‎ 当AB⊥x轴时，易得|AB|＝2；‎ 当AB有斜率时，设其方程为y＝kx+m，（k≠0），‎ 则，‎ 得m2＝2k2+2，…①‎ 直线方程与椭圆方程联立消去y得，‎ ‎（1+2k2）x2+4kmx+‎2m2‎﹣4＝0，‎ x1+x2，x1x2，‎ ‎∴4x1x2‎ ‎ ‎ ‎②‎ 把①代入②得，，‎ ‎∴|AB||x1﹣x2|‎ ‎＝4‎ ‎＝4，‎ ‎∵44，‎ ‎∴|AB|，‎ 综上可知，|AB|≤2，‎ 故|AB|的最大值为2． ‎ 命题点2　弦中点问题 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），过点F的直线交椭圆于M．N两点且MN的中点坐标为（1，）．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线，不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，两式相减得0，‎ ‎∴•，‎ ‎∵MN的中点坐标为（1，），且M，N，F，O共线，‎ ‎∴•，‎ ‎∴．‎ ‎∵a2＝b2+4，‎ ‎∴a2＝8，b2＝4，‎ ‎∴椭圆C的方程为1．‎ ‎（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ ‎①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，易知m≠2．‎ 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+‎2m2‎﹣8＝0，‎ 由韦达定理得，x1+x2，x1x2．‎ 直线PA和直线PB的斜率之和为kPA+kPB2k+（m﹣2）（）＝1．‎ 化简得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝0，即（2k﹣1）•（m﹣2）（）＝0，‎ 由于m≠2，∴2k﹣1）（m+2）﹣‎2km＝0，‎ ‎∴m＝4k﹣2．‎ ‎∴直线l的方程为y＝kx+4k﹣2，直线l过定点（﹣4，﹣2）；‎ ‎②当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x＝n，此时点A与点B关于x轴对称，则y1+y2＝0，‎ 直线PA和直线PB的斜率之和为1，得n＝﹣4．‎ 此时，直线l也过点（﹣4，﹣2）．‎ 综上所述，直线l过定点（﹣4，﹣2）． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知中心在原点，一焦点为F（0，4）的椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，‎ 可得宗坐标为y，可得中点M．‎ 设椭圆标准方程为：1（a＞b＞0）．‎ 设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则1，1，相减可得：0，‎ 又y1+y2＝﹣1，x1+x2＝1，3，‎ ‎∴0，又a2﹣b2＝42，‎ 联立解得a2＝24，b2＝8．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：． ‎ 命题点3　椭圆与向量等知识的综合 ‎【典型例题】‎ 已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．‎ ‎（1）求点Q的轨迹C的方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足AF2⊥BF2‎ ‎？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．‎ ‎∴|QF1|＝‎2a＝4，‎ ‎∵F1（﹣1，0），‎ ‎∴点Q的轨迹C的方程是（x+1）2+y2＝16；‎ ‎（2）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a＝0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），与圆方程联立消去y，得方程2x2+（‎2a+2）x+a2﹣15＝0，‎ ‎∴△＝124+‎8a﹣‎4a2＞0．‎ 利用根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣1﹣a，x1x2（a2﹣15）①，‎ 若AF2⊥BF2，则可得1﹣（x1+x2）+x1x2+y1y2＝0，‎ 结合y1＝x1+a，y2＝x2+a，代入可得1+2x1x2+（﹣1+a）（x1+x2）+a2＝0②‎ 由①②联解可得a＝±，此时△＝124+‎8a﹣‎4a2＞0．‎ ‎∴a＝±，‎ ‎∴存在斜率为1的直线x﹣y±0，使其与圆C交于A、B两点满足AF2⊥BF2． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知椭圆C：1（0＜b），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量与向量（2，﹣1）共线．‎ ‎（Ⅰ）求b；‎ ‎（Ⅱ）点P（x0，y0）在椭圆上移动（直线AB不过点P），且直线PA、PB分别与直线l：x＝2相交，交点记为M、N，试问M、N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y＝x﹣c，联立椭圆方程得：（b2﹣2）x2﹣4cx+‎2c2﹣2b2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2，x1•x2，‎ ‎∴（x1+x2，y1+y2）＝（，），‎ 而向量与向量（2，﹣1）共线，‎ ‎∴，‎ ‎∴b＝1．‎ ‎（Ⅱ）易得A（，），B（0，﹣1），‎ 设点P（x0，y0），则直线PB的方程：yx﹣1，‎ 令x＝2可得：yN，‎ 同理yM，‎ ‎∴yM•yN1．‎ 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ‎＝(k为直线斜率)．‎ ‎(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．‎ ‎【题型三】高考中求椭圆的离心率问题 考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．‎ 基础知识训练 ‎1．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎（I）连接，由题意得，所以为的中位线，‎ 又因为，所以，且 ‎ 又，，得，，‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎（II）联立，可得.‎ 设、，则，，‎ 所以为 所以的中点坐标为， ‎ 因此直线的方程为，从而点为，，‎ 设，令，则 ‎，‎ 因此当，即时取得最大值.‎ ‎2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹并给出标准方程；‎ ‎（2）已知，直线：交点的轨迹于，两点，设且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解：点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为.‎ ‎（2）解：设，，由得……①‎ 由得，‎ 由得代入整理……②‎ 显然②的判别式恒成立，‎ 由根与系数的关系得……③‎ ‎……④‎ 由①③得，代入④整理得.‎ 设，则由对勾函数性质知在上为增函数，故得.‎ 所以，即的取值范围是或.‎ ‎3．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）过椭圆右焦点的直线，交椭圆于两点，交直线于点，判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）是，理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得，即，‎ 所以是等腰三角形， ‎ 又，∴点的横坐标为2；‎ 又，‎ 设点的纵坐标为，∴，解得，‎ 应取，‎ 又点在椭圆上，∴，解得，‎ ‎∴所求椭圆的方程为； ‎ ‎（2）由题意知椭圆的右焦点为，，‎ 由题意可知直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，‎ 代入椭圆并整理，得； ‎ 设，，直线的斜率分别为，‎ 则有，，‎ 可知的坐标为； ‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又；‎ 所以，‎ 即直线的斜率成等差数列．‎ ‎4．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线交椭圆于M，N两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）当MF＝2FN时，求直线的方程；‎ ‎（3）若直线上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设椭圆的截距为‎2c，由题意，b＝，‎ 由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，‎ 又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意；‎ 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立，得（‎3m2‎+4）y2+6my﹣9＝0．△＝‎36m2‎+36（m2+4）＞0．‎ ‎ ①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，‎ 联立①③得，，‎ 代入②得，，解得．∴直线方程为；‎ ‎（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（x0，y0），‎ 则PM•PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号，‎ 又，解得．‎ 当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，‎ ‎．‎ ‎∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号，‎ ‎∴PM•PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝‎ ‎，‎ 整理得，代入直线方程得．∴点P在定直线上．‎ ‎5．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】已知椭圆与轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若，当时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解析：（1）．由题意，且，所以，‎ 所以椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，‎ 消去得，‎ 当时，设、，‎ 则……①，……②‎ 因为，所以，所以……③‎ 联立①②③，消去、，整理得．‎ 当时，，解 由且，‎ 故，所以．‎ ‎6．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.‎ 所以，所以，故椭圆C的方程为:.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 当时，代入，‎ 得:.‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 因为，则，所以，‎ 化简得，解得或，‎ 即直线的斜率为或.‎ ‎7．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】已知的周长为6，，关于原点对称，且.点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，直线：与交于，两点，若，，成等差数列，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）依题意，，，故，则，‎ 故点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），‎ 故的方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，，故.‎ 联立整理得.‎ 设，，则，.‎ 故 ‎，‎ 则.‎ ‎8．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），‎ 由 ．得 代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.‎ ‎（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；‎ 当SN的斜率存在时，设斜率为k，‎ 则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2‎ 设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，‎ 则kAS•kAN＝ ＝，‎ 故kAS•kAN为常数.‎ ‎9．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．‎ ‎【答案】（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，得，所以，‎ 又，所以 ‎ 所以椭圆的标准方程为，离心率.‎ ‎（Ⅱ）设，， ，‎ ‎①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，即点与原点重合;‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由 ‎ 得，．‎ 所以.‎ 则，‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，．，，‎ 消去得．‎ 综上，点构成的曲线的方程为 ‎ 对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．‎ 把的坐标代入曲线的方程的左端：．‎ 所以点也在曲线上．‎ 所以由点构成的曲线关于直线对称.‎ ‎10．【北京市清华附中2017-2018学年高三数学十月月考】已知椭圆：过点和点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）（2）不存在 ‎【解析】‎ ‎（1）椭圆：过点和点，‎ 所以，由，解得，所以椭圆：.‎ ‎（2）假设存在实数满足题设，‎ 由，得，‎ 因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，‎ 设的中点为，，分别为点，的横坐标，‎ 则，从而，所以，‎ 因为，所以，所以，而，所以，‎ 即，与矛盾，因此，不存在这样的实数，使得.‎ ‎11．【重庆一中2019届高三下学期5月月考】已知点，过点作抛物线：的切线，切点在第二象限.‎ ‎（1）求切点的纵坐标；‎ ‎（2）有一离心率为的椭圆：恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线、、的斜率分别为、、，若，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设切点则有，‎ 由切线的斜率为，得的方程为，‎ 又点在上，所以，即，所以点的纵坐标.‎ 由（1）得，切线斜率，‎ 设，切线方程为，‎ 由得，又，所以，‎ 所以椭圆方程为，‎ 由得，‎ ‎∴，，‎ 又因为，即 ‎，‎ 解得，所以，所以椭圆方程为.‎ ‎12．【2019年江苏省高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），‎ F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设椭圆C的焦距为‎2c.‎ 因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F‎1F2=2，c=1.‎ 又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，‎ 因此‎2a=DF1+DF2=4，从而a=2.‎ 由b2=a2-c2，得b2=3.‎ 因此，椭圆C的标准方程为.‎ ‎（2）解法一：‎ 由（1）知，椭圆C：，a=2，‎ 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.‎ 将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.‎ 因为点A在x轴上方，所以A(1，4).‎ 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.‎ 由，得，‎ 解得或.‎ 将代入，得，‎ 因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.‎ 由，得，解得或.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.‎ 将代入，得.因此.‎ 解法二：‎ 由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.‎ 因为BF2=‎2a，EF1+EF2=‎2a，所以EF1=EB，‎ 从而∠BF1E=∠B.‎ 因为F‎2A=F2B，所以∠A=∠B，‎ 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F‎2A.‎ 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.‎ 因为F1(-1，0)，由，得.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.‎ 因此.‎ ‎13．【湖北省十堰市2019年高三年级四月调研考试】已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点．点，直线的斜率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且．求的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，可得，解得，则，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）当的斜率不存在时，，不合题意，故的斜率存在．‎ 设的方程为，联立，得，‎ 设，则，‎ 即，‎ 设，则，‎ 则，即 整理得．故，的方程为．‎ ‎14．【安徽省定远重点中学2019届高三下学期第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．‎ ‎（1）求m2+k2的最小值；‎ ‎（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，‎ 由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k2+1＞t2，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得，所以，‎ 由于E为线段AB的中点，因此，‎ 此时，所以OE所在直线的方程为，‎ 又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，‎ 所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，‎ 此时由△＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．‎ ‎（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，‎ 将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得，又，‎ 由距离公式及t＞0得，，，‎ 由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t＝k，‎ 因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）．‎ ‎15．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点 ‎，求证：平分线段.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）设，由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，‎ 则，化简得.‎ ‎（2）设的直线方程为，则的直线方程为，‎ 联立，解得，∴直线的方程为，‎ 联立得，‎ 设，，则，‎ 设的中点为，则，‎ ‎∴，∴，‎ 将点坐标代入直线的方程，‎ ‎∴点在直线上，∴平分线段.‎ 能力提升训练 ‎1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）当与点不重合时，‎ ‎，得，即，‎ 当与点重合时，.‎ 综上，动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.‎ 当矩形各边均不与坐标轴平行时，‎ 根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为 另一边所在的直线为，则对边方程为，‎ 联立：，得，‎ 则，即.‎ 矩形的一边长为，‎ 同理：，矩形的另一边长为，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 综上：.‎ ‎2．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷】已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.‎ ‎（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；‎ ‎（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，求直线的斜率（结果用表示）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，得，所以，即 因为点在椭圆上，所以，即 又 所以为定值.‎ ‎（2）当时，则，直线的斜率一定存在.‎ 设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，‎ 整理得 由韦达定理，得，于是 根据直线的斜率为，将上式中的代替，‎ 得 于是 注意到，于是 因此，直线的斜率为 ‎3．【江西省宜春市2019届高三4月模拟】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 解（1）由可得，又.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知直线方程为.‎ 联立.‎ 由，得.①‎ 设，则.‎ ‎.‎ 原点在以线段为直径的圆外，‎ ‎，②‎ 由①②，解得.‎ 当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.‎ ‎4．【北京市房山区2019年高考第一次模拟测试】已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意：，‎ 得b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0），F（1，0），设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=-1．‎ 直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），得 ‎，设直线AM的方程为，‎ 由得：‎ 因为x=-2是方程的根，所以．同理可得．‎ 当，即时，可得，又F（1，0），所以 P，F，Q三点共线；‎ 当，即时，，‎ ‎，得kQF=kPF，所以 P，F，Q三点共线；‎ 综上所述：P，F，Q三点共线.‎ ‎5．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模】椭圆的离心率，过点的直线与原点间的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）据题知，直线的方程为.‎ 依题意得.‎ 解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设），‎ 设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程整理得：‎ ‎∴.①‎ 由，依题意可得：，②‎ 结合①②得，消去解得（不合题意）.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎6．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ||ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程．‎ ‎（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）1，（2）成等差数列 ‎【解析】‎ 解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ||ED|，Q在直线m上，‎ ‎∴x0＝x，|y0|＝|y|．①‎ ‎∵点D在圆x2+y2＝16上运动，‎ ‎∴x02+y02＝16，‎ 将①式代入②式即得曲线C的方程为x2y2＝16，即1，‎ ‎（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：‎ 由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48，‎ 直线l的方程为y＝k（x﹣2），‎ 代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，‎ 则有x1+x2，x1x2，‎ 可知M的坐标为（8，6k）．‎ ‎∴k1+k3‎ ‎＝2k﹣3•2k﹣3•2k﹣1，‎ ‎2k2＝2•2k﹣1．‎ ‎∴k1+k3＝2k2．‎ 故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．‎ ‎7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 存在满足条件的直线，其方程为.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由椭圆的一个焦点为知:，即.①. ‎ 又因为直线的方程为，即，所以. ‎ 由①解得.‎ 故所求椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，‎ 于是可设直线的方程为， ‎ 由，得.（*）‎ 因为点是直线与椭圆的一个交点，且 所以，所以，‎ 即点. ‎ 所以，即.‎ 因为点在圆上，所以， ‎ 化简得，解得，所以. ‎ 经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意. ‎ 故存在满足条件的直线，其方程为.‎ ‎8．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆 的离心率为，直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵椭圆的离心率为，∴,‎ ‎∵圆的圆心到直线的距离为,‎ ‎∴直线被圆截得的弦长为 ‎.‎ 解得，故，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 当直线轴不重合时，设的方程：.‎ 由，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 当，即时，的值与无关，此时.‎ 当直线轴重合且时，.‎ ‎∴存在点，使得为定值.‎ ‎9．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知椭圆的左、右焦点分别为（）．点在上，，△的周长为，面积为． ‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线与交于两点，以为直径的圆与直线相切，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设椭圆，‎ 依题意知△的周长为，得，…① ‎ 又因为，所以， ‎ 所以△的面积，‎ 所以，即…②， ‎ 联立①②解得，则， ‎ 所以的方程为．‎ ‎（2）当直线斜率为0时，不满足题意．‎ 设直线的方程为，，‎ 由消去，得， ‎ 从而， ‎ 所以 ‎ ， ‎ ‎ 设以为直径的圆的圆心，半径为，则，‎ 又，, ‎ 又因为圆与直线相切，则，即，解得．‎ 所以直线的方程为，即 ‎10．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)】已知椭圆方程为，其右焦点与抛物线的焦点重合，过且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线l与(1)中椭圆相交于,两点, 直线, ,的斜率分别为,, (其中)，且,,成等比数列；设的面积为, 以、为直径的圆的面积分别为, , 求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由抛物线方程得，椭圆方程为，过F垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M,N两点，可得，与抛物线交于C,D两点可得， ， ， ，‎ 所以椭圆方程为 .‎ ‎(2)设直线的方程为，‎ 由可得 ，‎ 由韦达定理：， ‎ ‎∵，，构成等比数列，，‎ 即 由韦达定理代入化简得：，∵ ，． ‎ 此时，即．‎ 又由三点不共线得，从而．‎ 故 ‎ ‎ ‎∵，，， ‎ 则 为定值． ‎ ‎，‎ 当且仅当即时等号成立．‎ 综上：的取值范围是．‎