数学理卷·2018届河北省正定中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省正定中学高二上学期期末考试（2017-01）

河北正定中学高二年级第一学期期末考试 数 学 试 题（理）‎ 出题人：李列滢 审题人：毛双景、张书彬 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数，，若为实数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎3. 为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )‎ A．13 B．19 C．20 D．51‎ ‎4. 设命题：，命题：一元二次方程有实数解．则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( )‎ A.8 B.11 C.9 D.12‎ ‎6. 在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知，是由直线和曲线 围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率是，则的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）‎ A．求数列的前10项和 B．求数列的前10项和 C．求数列的前11项和 D．求数列的前11项和 ‎9. 已知抛物线的准线为，过点且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎12.已知函数的导函数为，且，设，是方程的两根，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知向量，若⊥，则 ‎ ‎14. 给出下列不等式：,，…，则按此规律可猜想第个不等式为 ‎ ‎15. 设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 ‎ ‎16. 已知双曲线的左右焦点为，点在其右半支上，若，若∠，则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 三、解答题：6道大题，共70分，须写出必要的解答过程.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中,角,,所对的边分别为,,,且,.‎ ‎(1)若,求的值；‎ ‎(2)若的面积,求,的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）设数列的前项和为，令，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，……，[90,100]后得到如下频率分布表．根据相关信息回答下列问题：‎ 分组 频数 频率 ‎[40,50)‎ ‎0.1‎ ‎[50,60)‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎[60,70)‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎[70,80)‎ ‎18‎ ‎0.3‎ ‎[80,90)‎ ‎15‎ ‎[90,100]‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎ （1）求的值，并画出频率分布直方图；‎ ‎ （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‎ ‎ （3）用分层抽样的方法在分数在[60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，⊥平面，，，分别是的中点．‎ ‎(1)证明：⊥平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：()的右焦点为,且在椭圆上。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点的直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在定点,使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）证明：对任意在区间内均存在零点.‎ 河北正定中学16-17学年高二年级期末考试 理 科 数 学（答案）‎ ‎1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C ‎ ‎13.12 14. 15. 16.‎ ‎17.解:(1)因为,又, 所以 ………2分 由正弦定理,得 …………5分 ‎(2)因为, 所以. 所以 …………7分 由余弦定理,得.‎ 所以 …………10分 ‎18.解：（Ⅰ）由题设知公差，‎ 由，成等比数列得＝，‎ 解得（舍去）， ……………………………………3分 故的通项. ……………………………6分 ‎（2）因为，所以，…………………9分 所以…………12分 ‎19.解：（Ⅰ），……………………………1分 ‎………………………………4分 ‎（Ⅱ）45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71 …………………8分 ‎（Ⅲ）由题意知[60, 70)中抽2人，设为A1、A2，[70, 80)中抽取4人，设为B1、B2、B3、B4‎ 则任取两人共有15种取法(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)‎ ‎(A2,B4)(B1,B2)(B1,B3)(B1,B4)(B2,B3)(B2,B4)(B3,B4) ………………………………10分 至多有一人在[70,80)总有9种情况 ……………………………12分 答:分数在[70，80)内的频率为0.3，本次考试的平均分为71，至多有1人的分数在[70，80)内的概率为.‎ ‎20.(1)法一：∵,且为的中点, ∴⊥………3分 连结,∵，且为的中点, ∴⊥ ‎ ‎∴⊥平面……………………………6分 法二：证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．‎ 又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，，0)，F(1，，1)．……………………2分 ‎∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)．‎ ‎∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0. ………………………………………4分 ‎∴⊥，⊥ ‎∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，‎ ‎∴PC⊥平面BEF. ……………………………………………………………………………6分 ‎(2)解：由(1)知平面BEF的一个法向量＝＝(2,2，－2)，………………………9分 平面BAP的一个法向量＝＝(0,2，0)，∴.‎ 设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，‎ 则＝＝＝＝，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………………………12分 ‎21.解：（1）由题知，有椭圆的定义得，即……2分 ‎∴，所以椭圆方程为………………………4分 ‎（2）假设在轴上存在点,使得恒成立。‎ ‎①当直线的斜率不存在时，A(1,),B(1,),‎ 由于（）()=,所以，或……………5分 ‎ ‎②当直线的斜率为0时，A（，0）B（，0）‎ 若，则（，0）（，0）=，符合题意。 ‎ 若，则（，0）（，0），舍。 ………………6分 所以猜想存在定点，使得恒成立。证明如下：‎ ‎③当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,A,B,‎ 由x=ty+1及得有 ‎∴；………………8分 ‎ ‎，‎ ‎∴=‎ ‎， ………………………11分 综上所述：在轴上存在定点，使得恒成立。…………………12分 ‎22.解：（1），令，得或。‎ ‎①当＞0时，＞0的解集为 ‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为。……………………2分 ‎②当＜0时，＜0的解集为 ‎∴的单调增区间为，单调减区间为。………………………4分 ‎（2）由（1）可知，当＞0时，在内递减，内单调递增。‎ ‎∴①当即时，在(0,1)递减。‎ ‎ ＞0，＜0∴在(0,1)内有零点。…………………………6分 ‎②当0＜＜1，即0＜＜2时，在内递减,在内单调递增。‎ Ⅰ）若＜0‎ ‎＞0∴在内存在零点。………………………………………9分 Ⅱ）若，因，‎ ‎∴在递减，∴，‎ 又因＞0∴在内存在零点。‎ ‎∴对任意，在区间(0,1)内均存在零点。…………………………………………12分