2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．经过点且在轴上的截距为3的直线方程是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出直线的斜率,然后代入点斜式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,所求直线经过点,点，‎ 代入直线的斜率公式可得,,‎ 所以所求的直线方程为,‎ 化简可得,.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求法;属于基础题.‎ ‎2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义,结合图象即可判断.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知,函数增长越来越快,故函数切线的斜率越来越大,‎ 因为表示过点两点直线的斜率,‎ 又因为分别表示函数在点处切线的斜率,‎ 结合图象知,,‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 根据图象和导数的几何意义即可判断;属于基础题.‎ ‎3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用椭圆的简单性质列出方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,‎ 可得,,即,解得, ,‎ 所求椭圆方程为.‎ 所以A选项是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单性质，利用椭圆的性质求解基本量，相对简单.‎ ‎4．点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是，则的最小值是．‎ ‎【考点】点到直线的距离．‎ ‎【思路点晴】‎ 本题主要考查的是直线外一点与直线上一点的最短距离，属于容易题．本题通过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，利用两点间距离公式求解．解本题需要掌握的知识点是两点间距离公式，即．‎ ‎5．等差数列中，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列的公差为，根据题意建立有关和的方程组，解出这两个量，即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则，解得，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列项之和的计算，解题的关键就是建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）‎ A．-3 B．-1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故选A．‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎7．已知等比数列满足,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.‎ ‎【考点】本题主要考查等比数列性质及基本运算.‎ ‎8．过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可.‎ ‎【详解】‎ 设所求的圆的方程为,‎ 把点代入可得,,‎ 解得,所以所求圆的方程为,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查过两圆交点的圆系方程;重点考查学生的运算求解能力;属于中档题.·‎ ‎9．如图，是抛物线上一点（在轴上方），是抛物线的焦点，若，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的定义求出点的坐标,代入直线的斜率公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意知,焦点为,准线方程为,‎ 设点为,由抛物线的定义知,,‎ 解得,代入抛物线方程可得,,‎ 因为在轴上方,所以点为,‎ 由直线的斜率公式可得,,‎ 即,因为所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和直线的斜率公式;重点考查学生的运算求解能力;属于基础题.‎ ‎10．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为 A． B．‎ C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知可得，故选A.‎ ‎【考点】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.‎ ‎【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.‎ ‎11．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,证明平面MNRH//平面,平面,线段MP扫过的图形为,通过证明,说明为直角,得线段长度的取值范围为即可得解.‎ ‎【详解】‎ 取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:‎ 由图可知,,‎ 所以四边形为平行四边形,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 因为, ‎ 故平面MNRH//平面,‎ 因为截面,‎ 所以平面,线段MP扫过的图形为,‎ 由知,,‎ 在中,,‎ 即,所以， ‎ 所以,即为直角,‎ 故线段长度的取值范围为,即,‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.‎ ‎12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )‎ A．4072 B．2026 C．4096 D．2048‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，‎ 则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，‎ 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，‎ 则Tn，‎ 可得当n＝10，所有项的个数和为55，‎ 则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，‎ 则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，为的导函数，则的值等于______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x=1代入可得f′（1）的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数f（x）=，‎ 则f′（x）==，‎ 则f′（1）==1；‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．‎ ‎14．若等差数列满足，则当________时，的前项和最大.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由等差数列的性质可得,,由等差数列各项符号特征即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得,‎ ‎,,‎ 所以,公差,‎ 即等差数列为递减的等差数列,‎ 所以等差数列的前八项为正,从第九项开始为负,‎ 所以当8时,等差数列的前项和最大.‎ 故答案为:8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用等差数列前n项和及等差数列的性质求其前n项和的最值;属于中档题、常考题型.‎ ‎15．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的一个焦点到的距离为，则双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出双曲线的一条渐近线方程可得，再利用点到直线的距离公式，即可求出的值,进而求出双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的一条渐近线的方程为，‎ 所以,即，‎ 因为曲线的一个焦点为,渐近线方程,‎ 所以点到直线的距离为 ‎,解得，‎ 所以所求双曲线的方程为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用双曲线的几何性质求解双曲线的标准方程;把题中的条件进行转化得到关于的方程是求解本题的关键;属于中档题.‎ ‎16．如图，正方体，则下列四个命题：‎ ‎①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；‎ ‎②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；‎ ‎③在直线上运动时，二面角的大小不变；‎ ‎④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线.‎ 其中真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①∵∥平面A，∴∥上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线上运动时，∵∥，∴直线与平面所成的角不相等，所以不正确．③当P在直线上运动时，AP的轨迹是平面PA，即二面角P-A-C的大小不受影响，所以正确．④∵M是平面上到点和距离相等的点，∴M点的轨迹是直线，所以正确．故答案为①③④‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ 解得，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，裂项求和，属于中档题.‎ ‎18．已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】法一：利用已知条件列出方程组，求解即可 法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可 法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程 法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可 ‎【详解】‎ 法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知 解得或∵,‎ ‎∴∴的方程为. ‎ 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得 ‎∴的方程为. ‎ ‎2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点 设两点的坐标分别为,则 ‎ 两式相减,整理得 ‎∵线段中点的纵坐标为 ‎∴直线的斜率 直线的方程为即 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点 设直线的方程为由 消去,得设两点的坐标分别为,‎ ‎∵线段中点的纵坐标为∴解得 直线的方程为即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称.‎ ‎ ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）设圆与圆交于点、，点为圆上的动点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】根据题意知,所求的直线与直线垂直,且经过的中点,分别求出点和点的坐标,然后代入点斜式求解即可.‎ 由（1）得：直线的方程为，由圆和圆关于直线对称可知,圆的半径与圆的半径相等为,利用弦长公式求出弦长,要使的面积最大，只需点到直线的距离最大,结合图形可知,当时,的面积最大,求出此时的面积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）把圆的方程化为，‎ 所以圆心，半径为，因为，‎ 所以的中点为，.‎ 由已知条件得，所求直线与直线垂直,且经过的中点,‎ 即直线经过点，且斜率，‎ 所以所求直线方程为，‎ 即即为所求的直线方程.‎ ‎（2）由（1）得：直线的方程为，‎ 由点到直线的距离公式可得,‎ 圆心到直线的距离为,‎ 因为圆和圆关于直线对称,‎ 所以圆的半径与圆的半径相等为，‎ 所以弦长，‎ 要使的面积最大，只需点到直线的距离最大,‎ 结合图形可知,当时，的面积最大，‎ 此时点到直线的距离为，‎ 此时的面积为.‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式及点关于直线对称的性质;重点考查学生的运算求解能力、转化与化归的能力;属于中档题、常考题型.‎ ‎20．设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）.；（2）；（3）最大值为4.‎ ‎【解析】根据即可求出数列的通项公式,再结合，，即可求出等差数列的通项公式;‎ 由知,,利用错位相减法求其前n项和即可;‎ 由知,,利用分离参数法可得, 等价于,令,利用数列单调性的定义求数列的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，；‎ 当时，，此式当时也成立.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，公差，‎ 由等差数列通项公式得,;‎ ‎（2）由（1）知, ，，‎ 所以，‎ 所以数列的前n项和为，‎ ‎，‎ 两式相减可得，‎ ‎；‎ ‎（3）因为，‎ 所以等价于，‎ 令，‎ 则 当时，.‎ 而，数列从第2项起是递增数列，‎ 故，‎ 所以即实数的最大值为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项公式的求解及错位相减法对数列求和;重点考查学生的运算求解能力和转化与化归的思想;属于中档题、常考题型.‎ ‎21．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，平面 ‎，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值．.‎ 解析：‎ ‎（1）在直三棱柱中 又 平面，平面，‎ ‎∴平面 又∵平面 ‎∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）可知 以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系.设 ‎，，，，，，，‎ 直线的方向向量，平面的法向量 可知∴‎ ‎，，‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 记二面角的平面角为 ‎∴‎ 二面角的平面角的正弦值为.‎ ‎22．已知椭圆的离心率，且与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆上点作椭圆的弦，，若，的中点分别为，，若平行于，则，斜率之和是否为定值？‎ ‎【答案】（1）（2），斜率之和是为定值0.‎ ‎【解析】由离心率可得,,由椭圆与直线相切,联立方程,得到关于的一元二次方程的判别式为0,即,进而求出即可.‎ 因为直线平行于，所以,设直线的方程，，，联立方程,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理求出的值,代入,化简求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意知,，即，‎ 由，消去可得，‎ 因为椭圆与直线相切，‎ 所以判断式，‎ 解得，则，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为，的中点分别为，，直线平行于，‎ 所以，‎ 设直线的方程，，，‎ 联立方程，解得，‎ 由韦达定理可得,，，‎ 由中点坐标公式可得,，，‎ ‎，‎ 所以，斜率之和是为定值0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及与圆锥曲线相关的定值问题;重点考查学生的运算求解能力和转化与化归的能力;属于中档题、常考题型.‎