数学卷·2018届山西省大同市口泉中学高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山西省大同市口泉中学高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山西省大同市口泉中学高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0‎ ‎2．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．k＞3是方程+=1表示双曲线的（　　）条件．‎ A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 ‎5．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ‎，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎8．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）‎ ‎9．焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=8x C．y2=4x D．y2=2x ‎10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎11．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为　　．‎ ‎14．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，则∠F1PF2=　　．‎ ‎15．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+‎ ‎∞），则实数a=　　．‎ ‎16．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，‎ ‎|AP|=2|PB|，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．‎ ‎（Ⅰ）焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；‎ ‎（Ⅱ）一个焦点为F（﹣6，0）的等轴双曲线．‎ ‎18．设命题p：f（x）=ax是减函数，命题q：关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是．‎ ‎19．已知椭圆C的焦点F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且 ‎，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省大同市口泉中学高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据题意，给出的命题是全称命题，则其否定形式为特称命题，分析选项，可得答案．‎ ‎【解答】解：分析可得，命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”是全称命题，‎ 则其否定形式为特称命题，‎ 为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】四种命题的真假关系．‎ ‎【分析】因为原命题与它的逆否命题真假相同，故只需写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可．‎ ‎【解答】解：命题“若a＞0，则a＞1”是假命题，‎ 它的逆命题为：“若a＞1，则a＞0”为真命题．‎ 所以在四个命题中真命题的个数是2‎ 故选C ‎　‎ ‎3．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由判断充要条件的方法，我们可知：若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；而根据已知条件可得：“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．故得“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件．‎ ‎【解答】解：由于“p∨q为真命题”，则p、q中至少有一个为真命题，‎ 又由“p∧q为真命题”，则p、q都为真命题，‎ 所以“p∨q为真命题”⇒“p∧q为真命题”为假命题，‎ ‎“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”是真命题．‎ 再根据充要条件的判断方法，可知“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件．‎ 故答案为B．‎ ‎　‎ ‎4．k＞3是方程+=1表示双曲线的（　　）条件．‎ A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．‎ ‎∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：p：|x+1|＞2，得x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，‎ q：5x﹣6＞x2，即q：x2﹣5x+6＜0，即2＜x＜3，即￢q：x≥3或x≤2，‎ 即￢p是￢q的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由c=2，运用离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由2c=4，e==，解得c=2，a=2，‎ b==2，‎ 即有椭圆方程： +=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得e==，‎ 即为c2=a2，‎ 由c2=a2+b2，可得b2=a2，‎ 即a=2b，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆标准方程x2+=1，‎ 则其焦点在y轴上，且c==3，‎ 则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=8x C．y2=4x D．y2=2x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由焦点为（2，0），=2，可得2p=8，又开口向右，即可得出抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵焦点为（2，0），‎ ‎∴=2，∴2p=8，开口向右，‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=8x．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，推出a、b关系，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c==2b，‎ ‎∴e===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，讨论曲线为椭圆或双曲线，运用椭圆或双曲线的定义，及离心率公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由于曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，‎ 可设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，‎ 若曲线为椭圆，则由离心率公式，可得e===；‎ 若曲线为双曲线，则由离心率公式，可得e===．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，‎ ‎∴|PF2|=|F2F1|‎ ‎∵P为直线x=上一点 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得焦点为（2，0）．进而得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）．‎ 由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，∴c=2．‎ 又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，则∠F1PF2=　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义及余弦定理即可求得cos∠F1PF2，即可求得的值∠F1PF2．‎ ‎【解答】解：椭圆，a=5，b=3，c=，‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2a=10，‎ ‎∴|PF2|=10﹣|PF1|=4．‎ 在△F1PF2中，‎ cos∠F1PF2===，‎ ‎∴∠F1PF2=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，+∞），则实数a=　1　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题的真假关系．‎ ‎【分析】存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，‎ 根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4﹣4m＜0，所以m＞1，则a=1．‎ ‎【解答】解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，‎ ‎∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，‎ ‎∴△=4﹣4m＜0，‎ ‎∴m＞1，m的取值范围为（1，+∞）．‎ 则a=1‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，‎ ‎|AP|=2|PB|，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．‎ ‎【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故xB=﹣c，yB =，设P（0，t），‎ ‎∵=2，‎ ‎∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．‎ ‎∴a=2c，‎ ‎∴e==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．‎ ‎（Ⅰ）焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=；‎ ‎（Ⅱ）一个焦点为F（﹣6，0）的等轴双曲线．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件可知c=8，又e=，所以a=6，求出b，即可求出双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，则c2=2a2=36，求出a，即可求出双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由条件可知c=8，又e=，所以a=6，b==2，‎ 故双曲线的标准方程为=1．…‎ ‎（Ⅱ）设所求等轴双曲线：x2﹣y2=a2，则c2=2a2=36，‎ ‎∴a=3，‎ 故双曲线的标准方程为=1．…‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：f（x）=ax是减函数，命题q：关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据指数函数的单调性求命题P为真命题的条件；分析关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R的等价条件是△＜0求命题q 为真命题的条件；利用复合命题真值表求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax（a＞0，a≠1）是减函数，∴0＜a＜1，‎ 关于x的不等式x2+x+a＞0的解集为R，∴△=1﹣4a＜0⇒a＞，‎ ‎∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ ‎∴根据复合命题的真值表命题p、q一真一假 当P真，q假时，0＜a≤．‎ 当p假，q真时，a≥1．‎ 故满足条件的实数a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C的焦点F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆C的方程为：，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；‎ ‎（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可求x1+x2的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆C的方程为：，‎ 由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，‎ 椭圆C的标准方程为：；‎ ‎（2）由，得10x2+36x+27=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣=﹣，‎ ‎∴线段AB中点横坐标为﹣，代入方程y=x+2得y=﹣+2=，‎ 故线段AB中点的坐标为（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎20．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若a=1，求出p，q成立的等价，利用p∧q为真，即可求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，若命题p为真，则1＜x＜3；若命题q为真，则2＜x＜3，‎ ‎∵p∧q为真，即p，q都为真，‎ ‎∴，‎ ‎∴2＜x＜3，即实数F的取值范围是（2，3）．‎ ‎（2）若若q是p的充分不必要条件，‎ ‎∵a＞0，a＜x＜3a，‎ 若q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴，则1≤a≤2，‎ ‎∴a的取值范围是{a|1≤a≤2}．‎ ‎　‎ ‎21．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）‎ 由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴b2=2‎ ‎∴所求双曲线为…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上 ‎∴，两方程相减得：得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0‎ 经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用离心率为，是椭圆C上一点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，利用，求出k，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵在椭圆C上，∴‎ 又∵，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，‎ 故所求椭圆方程为．…5分 ‎（Ⅱ）∵，∴．‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，‎ 由，∴与矛盾，故直线l的斜率存在且不为零 设直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，∴‎ ‎，，‎ ‎∴；‎ 由，得x1x2+y1y2=0，解得k=±2，‎ ‎∴所求直线l的方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．…13分．‎