2017-2018学年湖北省长阳一中高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年湖北省长阳一中高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

长阳一中 2017-2018 学年度第二学期期末考试 高二数学（理科）试卷 考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分 命题人：郭静波 审题人：童家成 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 i iz 21 2017  ，则复数 z 的虚部为 （ ） 5 2.A iB 5 1. 5 1.C 5 1.D 2. 设集合 S }2|{ xx , }043|{ 2  xxxT , TSCR )则（ （ ） A. [－4，－2] B. (－∞，1] C. [1，＋∞) D. (－2，1] 3. 下列选项叙述错误的是 （ ） A.命题“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ”的逆否命题是“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ” B.若命题 2: , 1 0p x R x x     ，则 2: , 1 0p x R x x      C.若 p q 为真命题，则 p ， q 均为真命题 D. 若命题 2: , 1 0q x R x mx     为真命题，则 m 的取值范围为 2 2m   4. 已知函数   sinf x x x  ，则不等式    1 2 2 0f x f x    的解集是 ( ) A. 1, 3      B. 1 ,3      C.  3, D.  ,3 5. 若 a  ，b  均为单位向量，且 ( 2 )a a b    ，则 a 与b  的夹角大小为 （ ） A. 6  B. 4  C. 3  D. 3 2 6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“ 更相减损术”.执行该程序框图，若输入的 ,a b 分别为 63,98，则输出 的 a  （ ） A．9 B．3 C．7 D．14 7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的 边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之 和为 ( ) A．10 B．12 C．14 D．16 8.若双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一条渐近线被圆 2 22 4x y   所截 得的弦长为 2，则 C 的离心率为 （ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 9.设函数 2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x      , 2( 2) (log 12)f f   ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 10. 如图，长方形的四个顶点坐标为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 xy  经过点 B, 现将质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D. 11.已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 2 2, 90AB ACB   o ，PA 为球 O 的直径且 4PA  ，则点 P 到底面 ABC 的距离为 ( ) A． 2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3 12.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|= 4 2 ， |DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若实数 yx, 满足       5 4 02 y x yx 则 xyz  的最小值为 ． 14. 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 1a   ， 1 1n n na S S  ，则 nS  ________． 15.某校毕业典礼由 6 个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前 三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 . 16.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法 ——“三斜求积术”，即△ABC 的 ,)2(4 1 2 222 22      bcacaS 其中 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边.若 b=2，且 tanC= B B cos31 sin3  ，则△ABC 的面积 S 的最大值为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c . 已知sin 3 cos 0, 2 7, 2A A a b    （1）求 c ； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 ABD△ 的面积． 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 90BAP CDP     .[] （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD   ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19. （本小题满分 12 分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机 构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 2 名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体 店，5 名女性购物者中有 3 名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店． （1）若从 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率； （2）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X 的分布列和数学期望． 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:  012 2 2 2  bab y a x 经过点 )2 3,1(M , 1F ， 2F 是椭圆C 的 两个焦点， 1 2| F F |= 2 3 ， P 是椭圆C 上的一个动点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若点 P 在第一象限，且 4 1 21  PFPF ,求点 P 的横坐标的取值范围； 21．（本小题满分 12 分）设函数 2( ) mxf x e x mx   。 （1）证明： ( )f x 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增； （2）若对于任意 1 2, [ 1,1]x x   ，都有 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e   ，求 m 的取值范围。 22．（本小题满分10分）已知函数 ( ) | | | |f x x x     ． （1）求不等式 ( )f x 的解集； （2）若不等式 ( )f x x x m   的解集非空，求 m 的取值范围． 长阳一中 2017---2018 学年度第二学期期末考试数学试卷 高二（理科）试卷答案 一、选择题 C B C C C / C B A C A / B C 二、填空题： -6 1 n  120 三．解答题： 17．（12分）解答：（1）由已知可得 tan 3A   ，所以 2 3A  在 ABC 中，由余弦定理得 2 228 4 4 cos 3c c    ，即 2 2 24 0c c   解得 6c   （舍去）， 4c  （2）由题设可得 2CAD   ，所以 6BAD BAC CAD       故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 1 sin2 6 11 2 AB AD AC AD      又 ABC 的面积为 1 4 2sin 2 32 BAC    ，所以 ABD 的面积为 3 18.（12 分）（1）由已知 90BAP CDP     ，得 AB AP ，CD PD 由于 / /AB CD ，故 AB PD ， 从而 AB  平面 PAD 又 AB  平面 PAB ，所以平面 PAB  平面 PAD （2）在平面 PAD 内作 PF AD ，垂足为 F 由（1）可知， AB  平面 PAD ，故 AB PF ， 可得 PF  平面 ABCD 以 F 为坐标原点，FA  的方向为 x 轴正方向，| |AB  为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz 由（1）及已知可得 2 2 2 2( ,0,0), (0,0, ), ( ,1,0), ( ,1,0)2 2 2 2A P B C  所以 2 2 2 2( ,1, ), ( 2,0,0), ( ,0, ), (0,1,0)2 2 2 2PC CB PA AB          设 ( , , )n x y z 是平面 PCB 的法向量，则 0, 0 n PC n CB        即 2 2 0,2 2 0 x y z y       可取 (0, 1, 2)n    设 ( , , )m x y z 是平面 PAB 的法向量，则 0, 0 m PA m AB        即 2 2 0,2 2 0 x z y      可取 (1,0,1)m  则 3cos , | || | 3 n mn m n m     所以二面角 A PB C  的余弦值为 3 3  19.（本小题满分 12 分）.解：（1）设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A， 则 表示事件“随机抽取 2 名，（其中男、女各一名）都选择网购”， 则 . （2） 的取值为 0,1,2, 分布列为： 0 1 2 20.(本小题满分 12 分) 答案： 2 2x + y = 14 0 3，  21．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） ( ) ( 1) 2mxf x m e x    若 0m  ，则当 ( ,0)x   时， 1 0, ( ) 0mxe f x   ；当 (0, )x   时， 1 0mxe   ， ( ) 0f x  若 0m  ，则当 ( ,0)x   时， 1 0, ( ) 0mxe f x   ；当 (0, )x   时， 1 0mxe   ， ( ) 0f x  ] 所以， ( )f x 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的 , ( )m f x 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故 ( )f x 在 0x  处 取得最小值，所以对于任意 1 2 1 2, [ 1,1],| ( ) ( ) | 1x x f x f x e     的充要条件是 (1) (0) 1, ( 1) (0) 1, f f e f f e         即 1, 1, m m e m e e m e        ① 设函数 ( ) 1tg t e t e    ，则 ( ) 1tg t e   当 0t  时， ( ) 0g t  ；当 0t  时， ( ) 0g t  ，故 ( )g t 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单 调递增。 又 1(1) 0, ( 1) 2 0g g e e      ，故当 [ 1,1]t   时， ( ) 0g t  当 [ 1,1]m   时， ( ) 0, ( ) 0g m g m   ，即①式成立； 当 1m  时，由 ( )g t 的单调性， ( ) 0g m  ，即 1me m e   ； 当 1m   时， ( ) 0g m  ，即 1me m e    综上， m 的取值范围是[-1,1] 22．（本小题10分）解答：（1） 3, 1, ( ) 2 1, 1 2, 3, 2 x f x x x x           　　 　　 当 1x   时， ( ) 1f x  无解； 当 1 2x   时，由 ( ) 1f x  得， 2 1 1x   ，解得1 2x  ； 当 2x  时，由 ( ) 1f x  解得 2x  所以 ( ) 1f x  的解集为{ | 1}x x  （2）由 2( )f x x x m   得 2| 1| | 2 |m x x x x      ，而 2 2| 1| | 2 | | | 1 | | 2 | |x x x x x x x x           23 5(| | )2 4x    5 4  且当 3 2x  时， 2 5| 1| | 2 | 4x x x x      故 m 的取值范围为 5( , ]4 