数学文卷·2018届湖南省株洲二中、浏阳一中等五校高二下学期期末联考（2017-06）

数学文卷·2018届湖南省株洲二中、浏阳一中等五校高二下学期期末联考（2017-06）

‎2017年上学期湘东五校联考高二年级期末考试 文科数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1、已知集合A={0,1}，B={zz=x+y,xÎA,yÎA}，则集合B的子集个数为（ ）‎ A．8 B．3 C．4 D．7‎ ‎2、已知复数z满足(2-i)z=5，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松 日自半，竹日自倍，，松竹何日而长等。如图是源于其思想的一个程序框图。若输入的a,b 分别是5,2，则输出的n=( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎(第3题)‎ ‎4、已知数列{an}为等比数列，且a3 =-4,a7 =-16，则a5=（ ）‎ A．8 B．-8 C.±8‎ ‎D．64‎ ‎2‎ ‎5、设a,bÎR，则“a ‎‎ <0”是“ab>c ‎B．b>a>c ‎C．c>a>b ‎D．a>c>b ‎7、若aÎ（p，p）,则3cos2a=cos(a+p),则sin 2a的值为（ ）‎ ‎2 4‎ ‎1 1 17 17‎ A．18‎ ‎B．-18‎ ‎C．18‎ ‎或-1 D．-18‎ ‎8、若直线x+y=1(a>0,b>0)过点（1,1），则a+b的最小值为（ ）‎ a b A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎9、 已知f(x)=Acos(wx+j)(A>0,w>0)的图象如下，为得到g(x)=-Asin(wx+p)‎ ‎6‎ 的图象,可以将f(x)的图象（ ）‎ A．向右平移5p个单位长度 B．向右平移5p个单位长度 ‎6 12‎ C．向左平移5p个单位长度 D．向左平移5p个单位长度 ‎6‎ ‎（第9题）‎ ‎12‎ ‎（第10题）‎ ‎10、三棱锥P-ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC＝2CA＝2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面 积为( )‎ A．3π B．5π C．12π D．20π x2 y2‎ ‎11、已知F1,F2分别是双曲线 2 - 2‎ a b ‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一 条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若ÐF1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范 围是（ ）‎ A．(2，+¥)‎ ‎B．(‎ ‎2，+¥)‎ ‎C．(1,2) D．(1，2)‎ ì p ïsin ‎12、已知函数f(x)=í 2‎ ‎‎ x-1,x<0‎ ‎‎ ‎(a> 0且a¹1)的图像上关于y轴对称的点至少有3‎ ïîloga x,x>0‎ 对，则实数a的范围是（ ）‎ A.（0，5）‎ ‎5‎ ‎B.（‎ ‎5，1）‎ ‎5‎ ‎C.（‎ ‎3,1）‎ ‎3‎ ‎D.（0，3）‎ ‎3‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13、已知向量a=(1,-1)，b=(-1,2)，则（2a+b)×a= ‎ ‎14、已知实数x,y满足线性约束条件 ，若x-2y³m恒成立，则实数m的取值 范围是 ‎ ‎15、已知DABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 则cosB= ‎ ‎a=b，sin2 B=2sinAsinC ‎16、已知F是抛物线x2 =4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，-1），‎ PF 则 的最小值等于 ‎ PA 三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题各12分，选做题10分，共70分）‎ ‎1 *‎ ‎17、已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn+ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎an =1(nÎN)‎ ‎2‎ ‎4bn+1‎ ‎（2）设bn =-log3(1-Sn)，设Cn= ‎‎ b n ‎2×b2n+2‎ ‎，求数列{Cn}的前n项的和Tn ‎18、随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰．今年新春伊始,株洲各医院产科就已 经是一片忙碌,至今热度不减．卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都 是“二孩”；在市第一医院,共有40个鸡宝宝降生,其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健 院共有30个鸡宝宝降生,其中10个是“二孩”宝宝．‎ ‎（1）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．‎ ‎①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？‎ ‎②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的 概率；‎ ‎（2）根据以上数据,能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？‎ ‎2‎ k2= （n ad- bc） ‎ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ‎19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP^平 面ABP，O,M分别是AD,PB的中点.‎ ‎（1）求证：PD//平面OCM；‎ ‎（2）若AP与平面PBD所成的角为600，求线段PB的长.‎ ‎20、已知椭圆E:x ‎2 y2‎ + ‎=1的离心率为1,点F,F是椭圆E的左、右焦点, 过F的直线 a2 b2‎ ‎2 1 2 1‎ 与椭圆E交于A,B两点,且DF2AB的周长为8.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）动点M在椭圆E上，动点N在直线l:y=2 3上，若OM^ON，探究原点O到直 线MN的距离是否为定值，并说明理由.‎ ‎21、已知f(x)=lnx-ax+1，其中a为常实数。‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）当a=1时，求证：f(x)£0；‎ ‎（3）当n³2,且nÎN*时，求证：ln2+ln3+ln4+......+lnn<2‎ ‎2 22 23‎ ‎2n-1‎ 选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请 写清题号)‎ ‎22、在平面直角坐标系xoy中，直线l过点M(3,4)，其倾斜角为45‎ ìx=2cosq ‎，圆C的参数方程为 î íy=2+2sinq（q为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得 它与直角坐标系xoy有相同的长度单位.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）设圆C与直线l交于不同的两点A,B，求MA×MB的值.‎ ‎23、已知函数f(x)= ‎x-a+x+2‎ ‎（1）当a＝3时，求不等式f(x)³7的解集；‎ ‎（2）若f(x)£ ‎‎ x+4的解集包含[1,2]，求实数a的取值范围．‎ ‎2017 年上学期湘东五校联考高二年级期末考试文科数学 参考答案 一、选择题：1-12：AACBAD DCDBAA 二、填空题：13、1；14、m£-6；15、1；16、‎ ‎4‎ ‎2 ；‎ ‎2‎ 三、解答题：‎ ‎17、解：（1）当n=1时，a1‎ ‎‎ =2-----2分 ‎3‎ s ì ïn 当n³2时，í ‎+1a =1‎ ‎2 n ‎‎ 两式相减得：‎ ‎‎ a =1a ----4分 n 3 n-1‎ s ï î n-1‎ ‎+1a ‎2‎ ‎n-1=1‎ 所以an ‎=2´(1)n-------6分 ‎3‎ ‎（2）求出Sn =1-(‎ ‎1)n ‎3‎ ‎代入bn =n-----8分 从而Cn ‎= 4n+4‎ n2×(n+2)2‎ ‎=1- n2‎ ‎1‎ ‎(n+2)2‎ ‎-------10分 ‎1 1 1 1‎ Tn =2 -2 +2 -2‎ ‎1 3 2 4‎ 所以 ‎+1-1‎ ‎32 52‎ ‎‎ +......+ ‎1‎ ‎(n-1)2‎ ‎- 1‎ ‎(n+1)2‎ ‎+1- n2‎ ‎1‎ ‎(n+2)2‎ ‎‎ ‎--12分 =5- 1 - 1 ‎ ‎4 (n+1)2‎ ‎(n+2)2‎ ‎18、解：（1）①由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有7´4=4个,其中一孩宝宝有2‎ ‎7‎ 个. „„„2分 ‎②在抽取7个宝宝中,市一院出生的一孩宝宝2人,分别记为A1,B1,二孩宝宝2人,分别记为 a1,b1,妇幼保健院出生的一孩宝宝2人,分别记为A2,B2,二孩宝宝1人,记为a2,从7人中抽 取2人的一切可能结果所组成的基本事件为：‎ W={(A1,B1),(A1,a1),(A1,b1),(A1,A2),(A1,B2),(A1,a2),(B1,a1),(B1,b1)‎ ‎(B1,A2),(B1,B2),(B1,a2),(a1,b1),(a1,A2),(a1,B2),(a1,a2),(b1,A2),(b1,B2)„5分 ‎(b1,a2),(A2,B2),(A2,a2),(B2,a2)} 用A表示：“两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩”,则A={(a1,a2),(b1,a2)}‎ P(A)= ‎2‎ ‎„„„„7分 ‎21‎ ‎（2）2´2列联表 一孩 二孩 合计 第一医院 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 妇幼保健院 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 合 计 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ K2 = ‎‎ ‎70´(20´10-20´20)2‎ ‎40´30´40´30‎ ‎‎ =70‎ ‎36‎ ‎‎ »1.944<2.072,‎ ‎„„„„9分 故没有85％的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关. „„12分 ‎19、解：（1）连接交与，连接.因为为的中点，，‎ 所以.又因为，所以四边形为平行四边形，‎ 所以为的中点，因为为的中点， 所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面. -----6分 ‎（2）由四边形为平行四边形，知，‎ 所以为等边三角形，所以，‎ 所以 ，即，即 .‎ 因为平面，所以.‎ 又因为BD与PD交于点D，所以平面，‎ 所以为与平面所成的角，即，‎ 所以 .----12分 ìa2 -b2 1‎ ï = ‎20、 解：（1）由题意得í a2‎ ‎4，解得a=2,b= ‎3，┄┄┄┄┄┄┄┄3分 î ï4a=8‎ ‎2‎ 所以椭圆E的标准方程为x ‎‎ y2‎ + =1.┄┄┄┄┄┄┄4分 ‎4 3‎ ‎（2）①若直线ON的斜率不存在，‎ ‎‎ OM ×ON ON =2 3，OM =2，MN=4 ，‎ ‎②若直线ON的斜率存在 ‎d= = MN ‎3 ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ‎2‎ 设直线OM方程为：y =kx，代入x ‎y2 12‎ + =1得x2 = ‎‎ ‎，y2 = ‎12k2‎ ‎‎ ‎┄┄ 7分 ‎4 3 3+4k2‎ ‎3+4k2‎ 直线ON的方程为y ‎1x代入y=2 3得N(-2 3k,2 3)┄┄┄┄┄┄┄ 8分 =- k ‎2‎ ‎2 2 2 2 2 12(1+k )‎ MN =ON +OM =(-2 3k) +(2 3) + ‎=48(1+k ‎2)2‎ 设原点O到直线l的距离为d ‎2‎ ‎‎ ‎2 2‎ OM × ON ‎ ‎3+4k2‎ ‎3+4k2‎ MN×d=OM ‎×ONÞd = ‎=3，则d= ‎2‎ MN ‎3┄┄┄┄┄┄┄ 11分 综上所述，原点O到直线MN的距离为定值3 ┄┄┄┄┄┄┄ 12分 ‎21、解：（1）对f(x)求导得：f'(x)=1-a，其中x>0，于是 x a£0时，f'(x)>0,f(x)在（0，+¥）上递增---2分 a >0时，令f'(x)=0得x= ‎1,f(x)在（0 1）递增,(1,+¥)递减。-----4分 ‎，‎ a a a ‎（2）当a=1时，f(x)在（0，1）递增,(1,+¥)递减。‎ 从而f(x)max =f(1)=0，所以f(x)£0-----8分 ‎（3）由（2）知：当n³2,且nÎN*时，lnn

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