2018-2019学年黑龙江省东南联合体高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省东南联合体高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省东南联合体高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合， ， ，则 A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求，再求。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选D。‎ ‎【点睛】‎ 集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．‎ ‎2．已知复数,则的共轭复数()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以的共轭复数 故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.‎ ‎3．已知平面向量，，若向量与向量共线，则x=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先写出向量的坐标，然后由向量平行的坐标公式列方程解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由，，得 因为∥‎ 所以，解得 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4．在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.根据古典概型的计算公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有，‎ 所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有，‎ 所以其概率为.‎ 故答案为C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合问题，古典概型的计算，属于简单题.‎ ‎5．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【考点】充分不必要条件的判定．‎ ‎6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.‎ ‎【详解】‎ 是奇函数， 时，．‎ 当时，，，得．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．‎ ‎7．设等差数列的前n项和为Sn，a2，a5是方程2x2－3x－2＝0的两个根，则S6＝‎ A． B．5 C．－ D．－5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由根与系数的关系可知a2＋a5＝，由等差数列的性质知a2＋a5＝a1＋a6＝，由求和公式得S6＝＝.故选A.‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示,()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像得到，然后根据图像得到周期，由，得到的值，然后代入点得到，根据的范围，确定其值，从而得到函数解析式，代入，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据图像可得，‎ ‎，所以，‎ 而，所以 代入点，得到 即，‎ 所以，即 因为 所以 所以 代入得 ‎，‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数的图像求正弦型函数的解析式，求正弦型函数的函数值，属于简单题.‎ ‎9．已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出椭圆的焦点和，所以双曲线方程可设为，所以其渐近线方程为，由题意得双曲线的，再根据其离心率，求出，根据，得到，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆，其焦点为和，‎ 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，‎ 所以设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，‎ 且双曲线中 因为双曲线的离心率，所以，‎ 又因双曲线中 所以，即，‎ 所以双曲线的渐近线方程为 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据双曲线的离心率和焦点求，双曲线的渐近线，属于简单题.‎ ‎10．若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，得到在上是增函数，，从而根据单调性和零点，得到的解集.‎ ‎【详解】‎ 是定义在R上的偶函数，‎ 因为在上是减函数 所以在上是增函数，‎ 因为，‎ 所以 所以的解集为 故选B项。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，单调性，零点，根据函数的基本性质求不等式的解集，属于简单题.‎ ‎11．已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据直线与圆相切得，再根据诱导公式以及弦化切求结果.‎ ‎【详解】‎ 设直线,‎ 因为与圆相切，所以，‎ 因此选A.‎ ‎【点睛】‎ 应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎12．已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为，所以，‎ ‎ 设，‎ 如图所示，由题意可得，所以，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以，解得，故选A．‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．已知函数.则函数的图像在处的切线方程为 ‎____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出导函数求出，从而利用点斜式得到切线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又，∴所求切线方程为，即．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎14．幂函数的图像过点,则的减区间为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数的解析式为 代入点，得，所以 所以幂函数为，定义域为，‎ 所以，则需要 即其定义域为或，‎ 而的对称轴为 所以其单调减区间为 所以的减区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.‎ ‎15．已知数列的前项和为，．当时，，则=_______‎ ‎【答案】1010‎ ‎【解析】由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 两式作差可得：，即,‎ 即当时，数列任意连续两项之和为1，‎ 据此可知：.‎ ‎【点睛】‎ 给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac＝b2－a2，A＝，则B＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得cosA＝＝＝＝，∴a＋c＝b，由正弦定理得：sinA＋sinC＝sinB，又C＝－B，∴sinA＋sin＝sinB，即＋cosB＋sinB＝sinB，即cosB－sinB＝cos＝－，∴B＋＝，B＝.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和为．‎ ‎【答案】(1),(2).‎ ‎【解析】试题分析：根据等差数列首项为1，设公差为，由于成等比数列，列出方程求出公差，注意到公差不为0，根据等差数列通项公式求出；由于，利用分组求和法求出数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题设，得，即 化简，的 又， . ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题为数列部分常规考题，利用待定系数法列方程组求出数列中的待定量，写出通项公式；数列求和常用方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎18． 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因为，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎19．为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关,随机抽取了男、女学生各50人进行调查,根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数;‎ ‎（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”,已知“游戏迷”中女生有6人;根据已知条件,完成下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系;‎ 非游戏迷 游戏迷 合计 男 女 合计 附:(其中为样本容量).‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）人（2）填表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关 ‎【解析】（1）根据频率分布直方图得到每段的频率，利用频率之和等于1，得到在分钟的频率，从而得到所求的人数；（2）根据“游戏迷”的频率得到“游戏迷”的人数，根据“游戏迷”女生人数，求出“游戏迷”男生人数，填写列联表，根据公式计算出，然后得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1).日均玩游戏时间在分钟的频率为,‎ 所以,所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数为.‎ ‎(2).“游戏迷”的频率为,‎ 共有“游戏迷”人,由于“游戏迷”中女生有6人,故男生有14人.‎ 根据男、女学生各有50人,得列联表如下:‎ 非游戏迷 游戏迷 合计 男 ‎36‎ ‎14‎ ‎50‎ 女 ‎44‎ ‎6‎ ‎50‎ 合计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎.‎ 故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据频率分布直方图计算频率和频数，通过列联表计算，并由进行判断，属于简单题.‎ ‎20．已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎【答案】（1）（2）线恒过定点，详见解析 ‎【解析】（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，即，‎ 由直线与圆相切，‎ 可得，解得，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎(2)证明：设，‎ 将直线代入椭圆，‎ 可得，‎ 即有，‎ ‎，‎ 由，‎ 即有，‎ 代入韦达定理，可得，‎ 化简可得，‎ 则直线的方程为，即，‎ 故直线恒过定点；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.‎ ‎21．设函数在及时取得极值．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）。‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，‎ 的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，曲线与曲线交于，，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据加减消元法得曲线的普通方程，利用 将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线标准参数方程：，则根据参数几何意义得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得值，即得的值.‎ 试题解析：解：（1）曲线：；曲线：；‎ ‎（2）将（为参数）代入的直角坐标方程，‎ 得，所以；‎ 所以.‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎23．已知 ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）当时，对按和进行讨论，分别求出解集，再得到答案；（2）根据条件，对进行分类，按照和两种情况进行讨论，分别判断其是否成立，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1).当时，.‎ 当时，，恒成立，所以 当时，，恒成立，所以 所以，不等式的解集为.‎ ‎(2)当时，时，‎ 当时，，，不满足题意.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想解决问题，属于中档题.‎