数学卷·2018届河北省故城县高级中学高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

数学卷·2018届河北省故城县高级中学高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！河北省故城县高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.【题文】设集合,集合, 则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，所以.‎ 考点：集合的运算.‎ ‎【结束】‎ ‎2.【题文】设,则有（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：通过作差得到.‎ 考点：作差法比较大小.‎ ‎【结束】‎ ‎3.【题文】已知数列的首项,且,则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：令直接得到.‎ 考点：递推关系的应用.‎ ‎【结束】‎ ‎4.【题文】在中, 、、分别是角、、的对边，若 ‎,则 ‎（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：正、余弦定理的应用.‎ ‎【结束】‎ ‎5.【题文】在等差数列中，，则的前项和（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，‎ ‎．‎ 考点：等差数列的性质，等差数列求和.‎ ‎【结束】‎ ‎6.【题文】若,且,则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：指对互化，不等式求最值.‎ ‎【结束】‎ ‎7.【题文】满足以下条件的三角形无解的是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A项，，所以角有两个解，故A项不符合题意；B项，，与A项同理，角也有两个解，故B项不符合题意；C项，，所以角是直角，仅有一个解，故C项不符合题意；D项，，所以无解，故D项符合题意．故本题正确答案为D.‎ 考点：利用正弦定理解三角形.‎ ‎【结束】‎ ‎8.【题文】已知数列中，,则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，，，∴周期为,即.∴.所以B选项是正确的.‎ 考点：根据数列递推关系求某一项.‎ ‎【结束】‎ ‎9.【题文】已知满足约束条件,若取得最小值的最优解不唯一，则实数 的 值为（ ）‎ A．或 B．或 C. 或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题中约束条件作可行域如下图所示，将化为，即直线的纵截距取得最大值时的最优解不唯一.当时，直线经过点时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当时，直线与重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当时，直线经过点时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当时，直线与重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当时，直线经过点时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意.综上，当或时最优解不唯一，符合题意.故本题正确答案为D.‎ 考点：线性规划求最值.‎ ‎【结束】‎ ‎10.【题文】若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面 积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,,则 由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出: .三角形的三边分别为该三角形的面积为: 所以选项是正确的.‎ 考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.‎ ‎【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三角形中大边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为 ‎【结束】‎ ‎11.【题文】若数列满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，，‎ ‎，，.‎ 考点：求数列的通项.‎ ‎【思路点晴】本题考查的是根据数列的递推关系求数列的通项公式，关键是第一步可以看出等式右边可以拆分成两项的和加上数列中对通项的理解及等差中项判定数列成等差，可以得到为等差数列，其中首项为，公差为，求得，进而求得.‎ ‎【结束】‎ ‎12.【题文】在中,内角、、所对的边分别为、、点是内的一点，若 ‎，且，则角（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题干知是的重心，三角形的重心满足性质：，故，由余弦定理得，故.故本题正确答案为D.‎ 考点：共面向量基本定理，余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题的关键是由三角形的重心满足性质：，得到，向量的基本运算及基本概念不熟导致易错；据共面向量基本定理知，不共线的两个非零向量的和向量为零向量必定有两个向量的系数为零，重心与三角形的三个顶点构建三个向量的和向量为零向量，平时学习要多积累常见的结论.‎ ‎【结束】‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.【题文】在各项均为正数的等差数列中，，则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：等差数列的基本运算.‎ ‎【结束】‎ ‎14.【题文】 在中，，则的形状为__________.‎ ‎【答案】直角三角形 ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以由余弦定理得，整理得，是直角三角形.‎ 考点：正弦定理、余弦定理的应用.‎ ‎【结束】‎ ‎15.【题文】若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间 上是减函数,所以当时, ，所以.‎ 考点：不等式恒成立，二次函数求最值.‎ ‎【方法点晴】本题考查的不等式恒成立问题，恒成立,即所以问题转化为二次函数在区间上的最小值问题，是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间 上是减函数,所以当时, ，所以.‎ ‎【结束】‎ ‎16.【题文】数列和中，数列的通项公式数列 的通项公式，则数 列的前项和为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，用乘公比错位相减法数列求和，，相减得：再求和即可.‎ 考点：错位相减法数列求和.‎ ‎【方法点晴】本题考查的是乘公比错位相减法数列求和，设,项的特征是一个等差数列和一个等比数列中的对应项相乘得到的新数列，这种求和有三个关键步骤：乘公比（乘以原等比数列的公比）、错位（新的和中的第项和原和中的第项相对应）、相减（原和和新对应位置上的项作差），得到的新和再分组求和（一般情况下是一个新等比数列和另外两项的和），要注意最后的化简.‎ ‎【结束】‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.【题文】（本小题满分10分）‎ 解不等式组：.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得 ,. ‎ 试题解析：由已知得 ,.‎ 考点：不等式的解法，集合的运算.‎ ‎【结束】‎ ‎18.【题文】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前项和为, 求数列的前项和. ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据前项和求再用等比数列求和公式求和.‎ 试题解析：, ,‎ 两式相减得:, 又满足上式 , ，‎ ‎,‎ 即数列 的前项和为.‎ 考点：根据前项和求，等比数列求和.‎ ‎【结束】‎ ‎19.【题文】（本小题满分12分）某公司一年需购买某种货物吨，平均分成若干次进行购买, 每次购 买的运费为,一年的总存储费用数值（单位：万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运 费与总存储费用之和最小，求每次购买该种货物的吨数.‎ ‎【答案】.‎ 试题分析：先把实际问题转为数学模型，再用不等式知识得到取最小值时的.‎ 试题解析：设每次购买该种货物的吨，则需要购买次，则一年的总运费万元，一年的总存储费用为万元，所以一年的总运费与总存储费用为，当且仅当，即 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物吨.‎ 考点：数学建模，均值不等式的应用.‎ ‎【结束】‎ ‎20.【题文】（本小题满分12分）在中, 内角、、所对的边分别为、、，为 的面积，设, 且,求的最大值，并指出此时的值.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先由正弦定理和面积公式得到，再求的最值.‎ 试题解析：由已知得，又正弦定理及，得:， ‎ ‎，当，即时，‎ 取最大值. ‎ 考点：正弦定理，面积公式，两角差的余弦公式.‎ ‎【方法点晴】本题的目标式是，为了逆用两角和差的余弦公式，所以应该有把表示成的思路引领，而在中有角及其对边，很自然会想到用正弦定理，表示边和边，于是得到，，记得看清要求，并求此时的值，避免不必要的丢分.‎ ‎【结束】‎ ‎21.【题文】（本小题满分12分）已知数列的前项和为 且是与的等比中项，若是 公差不为零的等差数列，且,求数列的前项和为.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据条件求得，求得，，再用等比等比数列求和公式求和.‎ 试题解析：由题意知，解得，，‎ 数列是首项为，公比为等比数列，.‎ 考点：求数列的通项公式，等比数列求和.‎ ‎【结束】‎ ‎22.【题文】（本小题满分12分）如图所示，甲船以每小时的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向匀速线航行，当甲船位于处时，乙船位于处的北偏西方向的处，此时，‎ 当甲船航行到达处时，乙船航行到处的北偏西方向的处,此时.‎ ‎（1）此时两船相距多少？‎ ‎（2）乙船每小时航行多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，判断是等边三角形，从而得；（2）根据方位角判断，在中，由余弦定理求解.‎ 试题解析： 如图，连结，由题意知:,‎ 所以,又因为,所以是等边三角形,所以,故此时两船相距为.‎ ‎ ‎ 由题意知,,在中，由余弦定理，得:,‎ ‎ 所以,因此，乙船速度的大小为.‎ 即乙船每小时航行多少.‎ 考点：解三角形在实际问题中的应用，方位角，余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题考查的是解三角形在实际问题中的应用，关键是建立起正确的数学模型，充分利用方位角得到三角形中的角，其中在第一问中得到是等边三角形，轻松拿到边长，第二问中得到，利用余弦定理求得一定注意审清题目要求，这题没有问速度，而要求的是每小时航行多少.‎ ‎【结束】‎