数学理卷·2019届黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末考试（2018-01）

大庆实验中学2017-2018学年度上学期期末考试 高二数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．向量，若，则的值为（ ）‎ A. -3 B. 1 C. -1 D. 3‎ ‎2．已知函数，则的值为（ ）‎ A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2‎ ‎3．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　)‎ A. 8 B. 11 C. 16 D. 10‎ ‎4．某公司在2016年上半年的收入(单位：万元)与月支出(单位：万元)的统计资料如下表所示：‎ 月份 ‎1月 ‎2月 ‎3月 ‎4月 ‎5月 ‎6月 收入x ‎12.3‎ ‎14.5‎ ‎15.0‎ ‎17.0‎ ‎19.8‎ ‎20.6‎ 支出y ‎5.63‎ ‎5.75‎ ‎5.82‎ ‎5.89‎ ‎6.11‎ ‎6.18‎ 根据统计资料，则(　　)‎ A. 月收入的中位数是15.0，与有正线性相关关系 ‎ ‎ B. 月收入的中位数是17.0，与有负线性相关关系 C. 月收入的中位数是16.0，与有正线性相关关系 ‎ ‎ D. 月收入的中位数是16.0，与有负线性相关关系 ‎5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．点集，，在点集中任取一个元素，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．下列说法错误的是（ ）‎ A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 B. 已知三点不共线，若则点是△的重心 C. 命题“，”的否定是：“， ”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”‎ ‎8．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点， 为虚轴上的一个端点，且为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎9．若双曲线的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦 等于( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设函数．若存在的极值点满足，则 的取值 范围是（ ）‎ A . B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______‎ ‎14．由动点向圆引两条切线、切点分别为、，若，则动 点的轨迹方程为__________．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，输出的值是__________．‎ ‎16．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点.‎ ‎(1)求线段的长度；‎ ‎(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知关于的二次函数 ‎（Ⅰ）设集合和，分别从集合，中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率．‎ ‎（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，， 为的中点，，且 ‎(1)在棱上求一点，使平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的极大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为， ，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. ‎ ‎(1)求椭圆的方程； ‎ ‎ (2)过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证： 为定值.‎ ‎22．（本小题满分12分）设函数 ‎（1）当，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）设在上有两个极值点.‎ ‎（A）求实数的取值范围； ‎ ‎（B）求证： .‎ ‎2017高二上学期期末数学参考答案（理）‎ ‎1-12 DBACA BADDA AC ‎13． 14． 15． 16． ‎ ‎17．解： ‎ ‎(1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， ‎ ‎(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， ‎ 又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎18．解：要使函数在区间上是增函数，需且，即且．‎ ‎（Ⅰ）所有的取法总数为个．满足条件的有，，，，共5个，‎ 所以所求概率．‎ ‎（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．‎ 由，求得．所以区域内满足且的面积为．‎ 所以所求概率 ‎ ‎19．‎ 解:(1)以为轴， 为轴， 与的交点为，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.其中： ， ， ， ，， ‎ 设， ， ‎ 则： . ‎ 设平面的法向量为， ， ‎ 所以故.‎ ‎，所以，因此，所以为中点. ‎ ‎(2)平面的法向量，‎ 平面的法向量， ‎ 由二面角为锐二面角，‎ 因此，二面角的余弦值为. ‎ ‎20．解：（1）由已知得 ,据此可知： .‎ ‎（2）由（1）知 令，则令得递增区间为 令得递减区间为所以时， 取得极大值， ‎ ‎21．解：（1）依题意， ， .‎ ‎∵点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，由解得， .‎ 设， ，则为定值.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为： .‎ 将代入整理化简，得.‎ 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设， ，则， .‎ 又， ，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 综上得为常数2.‎ ‎22．解：（1）∵，且，∴.‎ 令，则.‎ ‎①当时， ， 在上为单调递增函数，‎ ‎∴时， ，不合题意.‎ ‎②当时， 时， ， 在上为单调递增函数，‎ ‎∴， ，不合题意.‎ ‎③当时， ， ， 在上为单调递减函数.‎ ‎∴时， ，不合题意.‎ ‎④当时， ， ， 在上为单调递增函数.‎ ‎， ， 在上为单调递减函数.∴，符合题意.‎ 综上， .‎ ‎（2）， . . ‎ 令，则 由已知在上有两个不等的实根.‎ ‎（A）①当时， ， 在上为单调递增函数，不合题意.‎ ‎②当时， ， 在上为单调递减函数，不合题意.‎ ‎③当时， ， ， ， ，‎ 所以， ， ， ，解得.‎ ‎（B）由已知， ，∴.‎ 不妨设，则，‎ 则 .‎ 令， .‎ 则，‎ ‎∴在上为单调递增函数，‎ ‎∴‎ 即，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 由（A），∴， ‎ ‎∴.‎