北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学理试题

北京市丰台区2019届高三上学期期末考试数学理试题

丰台区2019届高三上学期期末考试试题 ‎ 数学（理科） 2019.01‎ 第一部分 （选择题 共40分） ‎ 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合，，那么 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 答案：B 考点：集合的运算。‎ 解析：取集合A，B的公共部分即可，所以，‎ ‎2．若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 ‎（A）3 （B） （C） （D）‎ 答案：D 考点：复数的概念及其运算。‎ 解析：＝，实部与虚部互为相反数，‎ 所以，0，解得：‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的的值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 答案：B 考点：程序框图。‎ 解析：第1步：S＝，k＝1＜4，k＝k+1＝2‎ 第2步：S＝，k＝2＜4，k＝k+1＝3‎ 第3步：S＝，k＝3＜4，k＝k+1＝4‎ 第4步：S＝，k＝4＜4，否，退出循环，所以，S＝。‎ ‎4．已知等差数列中，，.若，则数列的前5项和等于 ‎（A）30 （B）45 （C）90 　　（D）186 ‎ 答案：C 考点：等差数列的通项公式，前n项和。‎ 解析：公差d＝6－3＝3，，‎ ‎，数列是以6为首项，6为公差的等差数列，‎ 前5项和为：S＝＝90‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 ‎（A）2 （B） （C） （D） ‎ 答案：D 考点：三视图。‎ 解析：该几何体可以看成是棱长为2正方体截出来的，如下图所示，‎ BD＝2‎ 最长的棱为PD＝‎ ‎6．设，是非零向量，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：A 考点：充分必要条件。‎ 解析：由a2＝a•b，得a2－a•b＝0，即a（a－b）＝0，‎ 所以，a⊥（a－b）或a＝b，‎ 所以，充分性成立，必要性不成立，是充分不必要条件。‎ ‎7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：D 考点：双曲线的概念与性质。‎ 解析：O、A是固定点，M是动点，‎ MO－MA＝（OB－MB）－（8－MB）＝4‎ 所以，2a＝4，a＝2，‎ 又2c＝10，c＝5，所以，离心率为：e＝‎ ‎8．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为 ‎（A） （B）1　　　（C）　　　 （D）‎ 答案：C 考点：线面平行，面面平行。‎ 解析：平面EFG截正方体的截面为EFGHIJ，如下图所示，‎ 因为直线与平面不存在公共点，所以，D1P∥平面EFGHIJ，‎ 易证：平面ACD1∥平面EFGHIJ，‎ 三角形的面积S＝，BB1的长度为2，是一定值，‎ 所以，当PB最短时，S最小，‎ 显然当P与AC中点O重合时，PB最短，‎ 三角形的面积的最小值为S＝＝‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9．在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．‎ 答案： ‎ 考点：极坐标方程与普通方程的互化，两点之间的距离公式。‎ 解析：圆方程为：，化为普通方程：，‎ 即：，圆心为（0,1）‎ 所以，（0,1）与（1,0）两点之间的距离为：‎ ‎10．展开式中的系数为____．‎ 答案：－40‎ 考点：二项式定理。‎ 解析：，令r＝3，得系数为：＝－40，‎ ‎11．能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____． ‎ 答案：满足且即可 考点：命题真假的判断。‎ 解析：答案不唯一，如b＝－.4，a＝－2，满足，但b＜a。‎ ‎12．若满足 则的最大值为____．‎ 答案：1‎ 考点：线性规划。‎ 解析：不等式所示的平面区域如下图所示，‎ 当目标函数经过点A（1，0）时取得最大值为1。‎ ‎13．动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____． ‎ 答案： ‎ 考点：圆的标准方程，函数的值域，三角函数。‎ 解析：设平面直角坐标系的原点为O，OA与x轴正方向的夹角为θ，‎ 因为t=0时，点A如下图，可知θ＝∠AOB＝，‎ ‎12秒旋转一周，每1秒旋转，‎ 当时，，‎ 动点A的纵坐标为：y＝sinθ，‎ 由，得，所以，值域为：‎ ‎14．已知函数 ‎① 若，则函数的零点有____个；‎ ‎② 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____． ‎ 答案：2；且 考点：函数的零点，函数的导数及其应用。‎ 解析：① 当时，，‎ ‎＝0时，由＝0，得：x＝0或，‎ 由2x＝0（x<0）无解，所以，有2个零点。‎ ‎②函数 当时，＝0，得x＝±1‎ x＝－1时，y有极小值为－2，x＝1时，y有极大值为2，‎ 函数图象如下图：‎ 函数总有三个不同的零点，即有3个交点，‎ a＜－1时，与有3个交点 ‎－1＜a＜0时，与有2个交点，与y＝2x有1个交点，‎ 综上，且 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题13分）在中，角的对边分别为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎17．（本小题13分）‎ ‎2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：‎ 展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易 展区的企业数(家)‎ ‎400‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎650‎ ‎1670‎ ‎300‎ ‎450‎ 备受关注百分比 ‎25％‎ ‎20％‎ ‎10％‎ ‎23％‎ ‎18％‎ ‎8％‎ ‎24％‎ 备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．‎ ‎（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；‎ ‎（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.‎ ‎（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；‎ ‎（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量的均值和的大小.（只需写出结论）‎ ‎18．（本小题14分）‎ 已知椭圆C:的右焦点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同两点，直线分别交轴于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎19．（本小题13分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．‎ ‎20．（本小题13分）‎ 将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.‎ ‎（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：①，②数列是公差为2的等差数列，③数列是公比为的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.‎ 高三数学（理科）参考答案及评分参考 ‎ 2019．01‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D B C D A D C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）‎ ‎9． 10． 11． 满足且即可 ‎12．1 13． 14．2；且 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15.（共13分）‎ 解：（Ⅰ）在△中，因为，，，‎ 由余弦定理， ……………….2分 可得， ……………….4分 所以，或（舍）． ……………….6分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 所以的面积. …………….13分 ‎ ‎ ‎16.（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为底面，底面，‎ 所以，‎ 正方形中，‎ 又因为， ‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以． …………….4分 ‎（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.‎ 如图建立空间直角坐标系，不妨设.‎ 依题意，则，‎ 所以.‎ 设平面的法向量， ‎ 因为，‎ 所以.‎ 令，得，即， ‎ 所以， ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为； ………………11分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，‎ 因为， 且二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． …………………14分 ‎17．（共13分）‎ 解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，‎ 其中备受关注的智能及高端装备企业共家，‎ 设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,‎ 所以. ………………4分 ‎（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有家，‎ 医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家.‎ 的可能取值为0，1，2.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎………………11分 ‎（Ⅲ） ………………13分 ‎ ‎ ‎18.（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得 ‎ 所以椭圆C的方程为 ………………5分 ‎（Ⅱ）设.‎ 由 得 ‎ 依题意，即.‎ 则 ………………8分 因为 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即.‎ 因为，所以. …………………14分 ‎19．（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 . ‎ 当时，恒成立，‎ 所以 在区间上单调递增， ‎ 所以. . .. …… …….5分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以. ‎ ‎①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立； ‎ ‎②当时，因为，所以.‎ 因此在区间上单调递增，‎ 所以对恒成立； ‎ ‎③当时，令，则，‎ 因为，所以恒成立，‎ 因此在区间上单调递增， ‎ 且，‎ 所以存在唯一使得，即.‎ 所以任意时，，所以在上单调递减.‎ 所以，不合题意. . .. …… …….12分 综上可知，的最小值为1. . .. …… …….13分 ‎20．（共13分）‎ 解：（Ⅰ）（答案不唯一）. . .. …… …….4分 ‎（Ⅱ）数阵具有性质A.‎ 只需证明，对于任意的，都有，其中.‎ 下面用反证明法证明：‎ 假设存在，则都大于，即在第列中，至少有个数大于，且.‎ 根据题意，对于每一个，都至少存在一个，使得，即在第列中，至少有个数小于.‎ 所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.‎ 所以假设不成立.‎ 所以数阵具有性质A. . .. …… …….13分 ‎（若用其他方法解题，请酌情给分）‎