2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高二下学期期中联合考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018 学年度下学期 湖北省孝感市八校教学联盟期中联合考试 高二理科数学试卷 (本试题卷共 10 页。全卷满分 150 分，考试用时 150 分钟) 注意事项： 1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。[] 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 第 I 卷 选择题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求。请在答题卡上填涂相应选项。 1. 抛物线 22y x 的焦点坐标为 A. 1,0（ ） B. 1 ,02 （ ） C. 10, 8 （ ） D. 10, 4 （ ） 2. 命题“对任意的 2, 2 2 0x R x x   > ”的否定是 A. 不存在 2 0 0 0, 2 2 0x R x x   ≤ B. 存在 2 0 0 0, 2 2 0x R x x   ≤ C. 存在 2 0 0 0, 2 2 0x R x x   > D. 对任意的 2, 2 2 0x R x x   ≤ 3. 命题“若 a b 是偶数，则 ,a b 都是偶数”的否命题是 A. 若 a b 不是偶数，则 ,a b 都不是偶数 B. 若 a b 不是偶数，则 ,a b 不都是偶数 C. 若 a b 是偶数，则 ,a b 不都是偶数 D. 若 a b 是偶数，则 ,a b 都不是偶数 4. 如果方程 2 2 11 2 x y m m    表示双曲线，则实数 m 的取值范围是 A. ( 1,2) B. (2, ) C. ( , 1) (2, )   D. ( 3, 1)  5. 已知 a b R， ，则“ a b ”是“ 2 2a b ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E ，F 分别是 1BB ， 1 1D B 的中点，则异面直线 EF 与 1DA 所 成角的大小是 A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  7. 如图，在空间四边形OABC 中，点 E 为 BC 中点，点 F 在OA 上，且 , 则 等于 A. B. C. D. [] 8. 圆 2 2( 2) 3x y   与双曲线 2 2 1yx a   的渐近线相切，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 2 9. 已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知椭圆 2 2 1100 36 x y  上的一点 P 到焦点 1F 的距离为 6 ，点 M 是 1PF 的中点, O 为坐标 原点, 则 OM 等于 A. 2 B. 4 C. 7 D. 14 11. 已知双曲线 12 2 2  yx ，过点 11P（ ,）作直线l 与双曲线交于 A B、 两点，使点 P 是线段 AB 的中点, 那么直线l 的方程为 A. 2 1 0x y   B. 2 3 0x y   C. 2 1 0x y   D. 不存在 12. 已知 1 2,F F 分别是椭圆   2 2 2 2: 1 0x y a ba b      的左、右焦点，点 P 是椭圆上一点， I 为 1 2PF F 的内心，若 1 2 1 2 4PF F IF FS S  ，则该椭圆的离心率是 A. 1 3 B. 1 4 C. 2 2 D. 2 3 第 II 卷 非选择题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错 位置、书写不清、模棱两可均不得分。 13. 命题“若 2x  或 3y  ，则 5x y  ”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）. 14. 已知空间三点 (0,2,3)A ， (2,5,2)B ， ( 2,3,6)C  ，则以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积 为 ． 15.已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，点 P 为抛物线C 上任意一点，若点 (4,2)A ，则 PF PA 的最小值为 ． 16. 已知点 ( 1,0)A  ，点 B 是圆 F： 2 2( 1) 8x y   （F 为圆心）上一动点，线段 AB 的垂直平分 线交 BF 于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 C 的 实轴长为 6，离心率为 ． （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）设点 P 是双曲线 C 上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|． 18. （本小题满分 12 分）已知命题 :p 函数 2( ) 2 1f x x mx   在 ( ,1) 上是减函数，命题 :q 0 Rx  ， 2 0 04 (4 2) 1x m x   ≤0 ． （1）若 q 为假命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“ p 或 q ”为假命题，求实数 m 的取值范围． 19. （本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ BCD是边长为 2 的等边三角形，平面 ABD  平面 BCD， 2AB AD  ，点 O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点． （1）求证： AO  平面 BCD； （2）求点 E 到平面 ACD 的距离． 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，四点 1( 2,0)P ， 2 (1,0)P ， 3 (0, 2)P ， 4 (0,1)P 中恰有两个点为椭圆C 的顶点，一个点为椭圆C 的焦点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 1 的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 ,A B ，且 4 3AB  ，求直线l 方程． 21. （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABEF 是梯形, 90EFA FAB    ，平 面 ABCD  平面 ABEF ， 1 12EF FA AD AB    ， 点 M 是 DF 的中点. （1）求证： BF ∥平面 AMC ； （2）求二面角 C AE B  的余弦值． 22. （本小题满分 12 分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线方程为 1 2x   ，点O 为坐标原点， 不过点O 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 ,A B ． （1）如果直线 l 过点 (2,0) ，求证：OA OB ； （2）如果OA OB ，证明：直线 l 必过一定点，并求出该定点． 2017—2018 学年度下学期孝感市八校教学联盟期中联合考试 高二数学理科参考答案及评分细则 说明： 一、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C A D D B C C D A 二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分） 13． 真 ； 14. 56 ； 15. 5 ； 16. _ 2 2 12 x y  __. 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）由题易知， 2 6a  ， 5 3 c a  ，解得 3a  ， 5c  ……………………（2 分）[] 故 2 2 2 16b c a   所以双曲线C 的标准方程为 2 2 19 16 x y  …………………………………（4 分） （Ⅱ）因为 8a c  ， 1 10 8PF   ，所以点 P 可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支 上 ①若点 P 在双曲线的左支上， 则 2 1 2 6PF PF a   ，∴ 2 16 16PF PF   ； …………………………（6 分） ②若点 P 在双曲线的右支上， 则 1 2 2 6PF PF a   ，∴ 2 1 6 4PF PF   . …………………………（8 分） 综上，|PF2|＝16 或 4. …………………………………………………………（10 分） 18.解：（Ⅰ）因为命题 :q 0 Rx  ， 2 0 04 (4 2) 1x m x   ≤0 所以 q ： Rx  ， 24 (4 2) 1x m x   > 0 ， 当 q 为假命题时，等价于 q 为真命题， …………………………………………（2 分） 即 24 (4 2) 1x m x   > 0 在 Rx 上恒成立， 故 2(4 2) 16 0m     ，解得 1 3 2 2m   所以 q 为假命题时，实数 m 的取值范围为 1 3( , )2 2  .………………………………（5 分） （Ⅱ）函数 2( ) 2 1f x x mx   的对称轴方程为 x m ， 当函数 2( ) 2 1f x x mx   在 ( ,1) 上是减函数时，则有 1m  即 p 为真时，实数 m 的取值范围为[1, ) …………………………………………（7 分） “ p 或 q ”为假命题，故 p 与 q 同时为假， ……………………………………（9 分） 则 1 1 3 2 2 m m    …………………………………………………………………（11 分） 1 12 m   综上可知，当 “ p 或 q ”为假命题时，实数 m 的取值范围为 1( ,1)2  …………（12 分） 19．(Ⅰ)证明：∵ AB AD ，O 为 BD 的中点，∴ AO BD ， …………（2 分） 又平面 ABD  平面 BCD，平面 ABD  平面 BCD BD ∴ AO  平面 BCD …………………………………………………………（6 分） (Ⅱ) ∵O 为 BD 的中点，△ BCD为等边三角形，∴OC BD 以 O 为坐标原点，以 , ,OB OC OA    方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 1 3(0,0,1), (1,0,0), (0, 3,0), ( 1,0,0), ( , ,0)2 2A B C D E ， ……………………（8 分） 所以 (0, 3, 1), ( 1,0, 1)AC AD      设 n ( , , )x y z 为平面 ACD 的法向量， 则 n 0AC   ， n 0AD   3 0, 0, y z x z       ， 不妨设 3x  ，则 1, 3y z    故可取 n ( 3, 1, 3)   ，………………………………………………………（10 分） 1 3( , ,0)2 2EC   ， 则点 E 到平面 ACD 的距离为 | | 3 21 | | 77 ECd     n n ……………………（12 分）· 20．解：（Ⅰ）椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     表示焦点在 x 轴上的椭圆， 故 2 (1,0)P 为椭圆的焦点，所以 1( 2,0)P 为椭圆长轴的端点， 4 (0,1)P 为椭圆短轴的端点，…………………………………………………………（2 分） 故 2a  ， 1b c  ，所以椭圆C 的方程为 12 2 2  yx ………………………（4 分） (Ⅱ)设直线l 的方程为 y x m  ， 由 2 2 , 1,2 y x m x y     化简得: 2 23 4 2 2 0x mx m    ， 因为直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点 所以 2 2 216 12(2 2) 8 24 0m m m        ，解得 2 3m  …………………（6 分） 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 2 1 2 1 2 4 2 2,3 3    m mx x x x ……………………………………………………（8 分） ∴ 2 2 1 1 2 1 2= 1 2 ( ) 4AB k x x x x x x      28 24 42 9 3 m   …………………………………………………………（9 分） 解得 2m   ……………………………………………………………………（11 分） ∴直线l 的方程为 2y x  或 2y x  ……………………………………（12 分） 21.解：（1）证明：连结 BD ，交 AC 于点 G ，∴点G 是 BD 的中点. ∵点 M 是 DF 的中点，∴ MG 是△ BDF 的中位线. ∴ / / .BF MG ∵ MG  平面 AMC ， BF  平面 AMC ，∴ / /BF 平面 AMC …………………（5 分） （Ⅱ）四边形 ABEF 是梯形， 90EFA FAB     ， AB AF  又四边形 ABCD 是矩形， AD AB  ， ∵平面 ABCD  平面 ABEF ，平面 ABCD  平面 ABEF AB ∴ AD  平面 ABEF …………………………………………………………………（7 分） 以 A 为原点，以 AF 、 AB 、 AD 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系， ∴ 0,0,0( )A ， 0,2,1( )C ， 1,1,0( )E ， 0,0,1( )D ， ………………………………（8 分） ∴ 0,2,1( )AC   ， 1,1,0( )AE   ， 0,0,1( )AD   . 设平面 ACE 的法向量 n , ,( )x y z ， ∴ n 0AC   ， n 0AE   . 即 2 0, 0. y z x y        令 1x  ，则 1y   ， 2z  .∴可取 n  1, 1,2  .…………………………………（10 分） 又 AD  是平面 ABE 的法向量， ∴ cos , ADAD AD   nn n   2 6 . 36 1    由图可知，二面角 C AE B  为锐角. ∴二面角C AE B  的余弦值是 6 . 3 ……………………………………………（12 分） 22.解：（1）抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线方程为 1 2x   ， 所以抛物线C 的方程为 2 2y x ………………………………………………（1 分） 因为直线 l 过点 (2,0) ，故可设直线 l 的方程为 2x ty  ，代入抛物线中 得 2 2 4 0y ty   ， ……………………………………………………………（2 分） 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y 则 1 2 2y y t  ， 1 2 4y y   ……………………………………………………………（3 分） 2 1 12y x ， 2 2 22y x 所以 2 2 1 2 1 2 42 2 y yx x   …………………………………………………………………（4 分） 所以 1 2 1 2 4 4 0OA OB x x y y       即OA OB …………………………………………………………………………（5 分） （Ⅱ）设直线 l 的方程为 mtyx  代入到抛物线方程整理得 2 2 2 0y ty m   ……………………………………（7 分） 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y 根据韦达定理 1 2 2y y t  ， 1 2 2y y m  ， ……………………………………（8 分） 2 2 2 21 2 1 2 ( 2 )=2 2 4 y y mx x m  因为OA OB 即 2 1 2 1 2 = 2 0OA OB x x y y m m      ……………………………………………（10 分） 解得 2m  ， （ 0m  舍去） ………………………………………………（11 分） 所以直线 l 的方程为 2x ty  所以不论t 为何值，直线 l 恒过定点 (2,0) ．…………………………………………（12 分） 注：各题其它解法酌情给分