2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二5月考数学试题-解析版

2017-2018学年浙江省杭州市西湖高级中学高二5月考数学试题-解析版

绝密★启用前 浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二5月考数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：为纯虚数且，则 a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的必要但不充分条件．‎ 考点：1．复数的概念；2．充分条件与必要条件．‎ ‎2．复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据 ，化简得复平面内坐标，即可判断所在象限。‎ ‎【详解】‎ 化简得 所以z在复平面内的坐标为 ‎ 所以点在第二象限 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了复平面内对应点的象限，属于基础题。‎ ‎3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝(　　)‎ A． 18 B． 29 C． 47 D． 76‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给例题，归纳出数据特征得到正确的解。‎ ‎【详解】‎ 根据所给示例，得出后面的值等于前面两项的和 所以， ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的简单应用，属于基础题。‎ ‎4．证明：，当时，中间式子等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为 考点：数学归纳法 ‎5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，‎ a5＝2，则{an}的类似结论为( )‎ A． a1a2a3…a9＝29 B． a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29‎ C． a1a2a3…a9＝2×9 D． a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为等比数列中，而等差数列中有，所以在等差数列中的结论应为： ，故选D.‎ 考点：类比推理.‎ ‎6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）‎ A． 假设三内角都不大于60度 B． 假设三内角都大于60度 C． 假设三内角至多有一个大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可 解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”‎ 故选：B 点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．‎ ‎7．复数 在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )‎ A． (-1，6) B． (－∞，1) C． (4,6) D． (1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复平面内点所对应的象限，列出不等式组，解不等式组得m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为复平面内复数z对应的坐标为 点在第四象限，所以 ‎ 解方程组，得 ‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复平面内对应点的坐标，一元二次方程的解法，属于基础题。‎ ‎8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间(-3,-1)内单调递增；②当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间内单调递增；④当时，函数y＝f(x)有极大值．‎ 则上述判断中正确的是(　　)‎ A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数在图像中的正负，判断函数的单调性，并判断是否存在极值。‎ ‎【详解】‎ 根据导数图像，可知f(x)在区间(-3,2)内导函数小于0，所以函数f（x）单调递减，f(x)在区间(2, )内大于0，所以函数f（x）单调递增，所以①错误。‎ ‎ 在 时，函数单调递增； 在 时，函数单调递减，所以在x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，所以②错误。‎ ‎ 在 时，函数单调递增，所以③正确。‎ ‎ 在 时，函数单调递增； 在 时，函数单调递增，所以在x＝ 时，函数y＝f(x)没有极值，所以④错误。‎ 综上，只有③正确，所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了导数图像的简单应，根据导函数图像判断单调性和极值，属于基础题。‎ ‎9．设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则= ( )‎ A． B． 6 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数定义，化为导数表达式即可。‎ ‎【详解】‎ 根据导数定义，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题。‎ ‎10．10．设函数f(x)＝xex，则( )‎ A． x＝1为f(x)的极大值点 B． x＝1为f(x)的极小值点 C． x＝－1为f(x)的极大值点 D． x＝－1为f(x)的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以.令，得；又，得，函数是增函数； ，得，函数是减函数；所以为的极小值点.‎ 故选D.‎ 考点：导数的运算；用导数求函数的极值点，判断单调性.‎ 视频 ‎11．分别是复数在复平面内对应的点， 是原点，若，则一定是 A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以 ,‎ 因此 ，即一定是直角三角形，选C.‎ ‎12．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A． 0 B． 1 C． D． 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。‎ ‎【详解】‎ 点M(1,f(1))在切线上，所以 ‎ 根据导数几何意义，所以 ‎ 所以 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，，则的大小关系为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： ‎ 考点：不等式性质 ‎14．复数(其中i为虚数单位)的虚部是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法计算原理，化简即可得到虚部。‎ ‎【详解】‎ 根据导数除法运算，化简 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以虚部为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算和简单的概念，属于简单题。‎ ‎15．若函数在x＝1处取极值，则a＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，得到导函数，根据极值存在定理即可求得a的值。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 根据导数极值存在定理， ，代入化简得 ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的基本运算，根据极值求参数的简单应用，属于基础题。‎ ‎16．已知f(x)＝sin x＋cos x，则f′()＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，代入即可求得值。‎ ‎【详解】‎ 对函数 求导得 ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的简单求导和求值，属于基础题。‎ ‎17．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，根据函数单调得到，进而求得m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 对函数 求导得 ‎ ，因为函数在R上单调 所以 ‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与单调性的关系，利用导数判断函数的单调性，属于基础题。‎ ‎18．设函数，f（2）=_______，若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是________。‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数定义域，求得 ‎ 利用换元法，求得参数t的取值范围；再代入函数解析式，求得x的解集。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由分段函定义域的范围，可求得 ‎ ‎（2）设 ，则 ，‎ 代入 中，解得 即 。所以代入中得 无解；代入中得，解得 。‎ 因为 ，则 ，代入得 ，得 无解。‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数值域的求解，分段函数中复合函数与不等式的关系，注意换元法的应用，并注意代入合适的函数求解，属于中档题。‎ ‎19．某空间几何体的三视图(单位：cm),如图所示，则此几何体侧视图的面积为______ ，此几何体的体积为________ .‎ ‎【答案】 ； ‎ ‎【解析】此几何体的侧视图为直角三角形，高为，底为，面积为 ；‎ 恢复原几何体是以正视图为底面的四棱锥，其底面为直角梯形，面积是，高为，体积为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎20．已知函数 ‎（1）求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎（2）求经过点A（1,3）的曲线的切线方程.‎ ‎【答案】(1)2x-y+1=0(2)x-y+2=0或2x-y+1=0‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）设切点坐标为 ，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点的切线方程，将代入切线方程可求得的值，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）函数f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ 可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3﹣2+1=2，‎ 切点为（1，3），‎ 即有曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为2x﹣y+1=0；‎ ‎（2）设切点为（m，n），可得n=m3﹣m2+m+2，‎ 由f（x）的导数f′（x）=3x2﹣2x+1，‎ 可得切线的斜率为3m2﹣2m+1，‎ 切线的方程为y﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（x﹣m），‎ 由切线经过点（1，3），可得 ‎3﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（1﹣m），‎ 化为m（m﹣1）2=0，解得m=0或1．‎ 则切线的方程为y﹣2=x或y﹣3=2（x﹣1），‎ 即为y=x+2或y=2x+1．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. ‎ ‎21．用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数学归纳法证明步骤，逐步证明即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；‎ 那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，‎ 即当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用数学归纳法证明不等式的简单应用，关键是注意书写格式，属于基础题。‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）如果对于任意的，都有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导，根据可得的值。将的值代入导数解析式并将导数变形分解因式，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间。（2）将变形为（注意所以不等式两边同除以时不等号应改变）。设.将问题转化为时恒成立问题，即。将函数求导，分析讨论导数的正负，从而判断函数的单调性，根据单调性求其最值。‎ 解：（1） 因为， 1分 因为，‎ 所以. 2分 所以.‎ 令，解得. 3分 随着的变化，和的变化情况如下：‎ 即在和上单调递减，在上单调递增. 6分 ‎（2） 因为对于任意的，都有，‎ 即，‎ 所以. 8分 设.‎ 因为， 9分 又因为，‎ 所以. 10分 所以. ‎ 所以在上单调递增. 11分 所以. 12分 即. 13分 考点：用导数研究函数的单调性及其最值问题。‎ ‎23．已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，求 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由正弦定理将边角关系统一成角的关系，再根据配角公式得，最后根据特殊角的三角函数值及三角形内角范围得（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理得，最后解方程组得.‎ 试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理得.‎ 由于，则有， ‎ 所以. ‎ 又，故. ‎ ‎（Ⅱ）的面积 ‎ 而，故. ‎ 解得. ‎ ‎24．在四棱锥中，底面为菱形,且，，是的中点.‎ ‎（1）求证：面 ‎ ‎（2）求直线和平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据几何性质，找到中位线OF，利用中位线性质判定面。‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的法向量，再根据直线和平面夹角求得其正弦值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连AC，交BD于点O，连接FO ‎ ‎∵底面ABCD为菱形 ∴O为AC中点，又∵F是PC的中点 ‎∴OF是△PAC的中位线，∴ ‎ 又∵OF∥平面DBF,PA平面DBF∴平面DBF ‎（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz ‎ ‎ 求得平面PBC的法向量 ， ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴直线PA和平面PBC所成的角的正弦值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中简单的线面平行、空间法向量的简单应用，属于基础题。‎