江苏省海安高级中学2013届高三12月检测数学试卷

江苏省海安高级中学2013届高三12月检测数学试卷

江苏省海安高级中学高三数学试卷 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎1． 复数（i为虚数单位）的实部是 ▲ ．【答案】—1‎ ‎2． 集合，，若，则 ▲ ．【答案】{1,2,3}‎ ‎3． 已知等比数列的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列的通项公式 ▲ ．【答案】‎ ‎4． 若，且，则的值是 ▲ ．【答案】‎ ‎5． 设是单位向量，且，则向量的夹角等于 ▲ ．【答案】‎ ‎6． 若函数的零点为，则满足的最大整数k = ▲ ．【答案】2‎ ‎7． 定义在R上的可导函数满足，．已知，则“”是“”的 ▲ 条件. 【答案】充分必要 ‎8． 已知函数的图象过点A（2，1），且在点A处的切线方程2x—y + a = 0，则a + b + c= ▲ ．【答案】0‎ ‎9． 在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，则这两条平行直线间的距离为 ▲ ．【答案】12‎ ‎10．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则的最大值为（S为三角形的面积） ▲ ．【答案】32‎ ‎11． 已知，O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件， 则 的取值范围是 ▲ ．【答案】‎ ‎12．若对任意，x y=2，总有不等式2—x≥成立，则实数a的取值范围是 ‎ ▲ ．【答案】a≤0‎ ‎13．给出下列四个命题：‎ ‎①“k =1”是“函数的最小正周期为”的充要条件；‎ ‎ ② 函数的图像沿x轴向右平移个单位所得的图像的函数表达式是 ；‎ ‎ ③ 函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（0，1）；‎ ‎ ④ 设O是△ABC内部一点，且，则△AOB 和△AOC的面积之比为1：2；‎ ‎ 其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】④‎ ‎14．定义在R上的函数满足，且当时，，则 ▲ ．【答案】‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本大题满分14分）‎ 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【答案】‎ 由题意知AB = 海里，‎ ‎，，‎ ‎∴．在中，由正弦定理得：‎ ‎，∴（海里）‎ 又，（海里）‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎∴（海里）‎ ‎∴需要的时间（小时）‎ 故救援船到达D点需要1小时．‎ ‎16．（本大题满分14分）‎ D1‎ A1‎ B1‎ C1‎ K N C B A M D 如图，分别是正方体的棱的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连结NK.‎ ‎ 在正方体中，‎ ‎ 四边形都为正方形，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分别为的中点，‎ D1‎ A1‎ B1‎ K N B A M D ‎ ‎ 为平行四边形.‎ 为平行四边形.‎ 平面平面，‎ 平面 ‎（2）连结 在正方体中，‎ 分别中点，‎ 四边形为平行四边形.‎ 在正方体中，平面平面 为正方形， ‎ 平面平面 平面 平面 平面平面 ‎17．（本大题满分14分）‎ 如图：在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点．‎ ‎ （1）若A、B两点的纵坐标分别为、，求的值；‎ ‎ （2）已知点，求函数的值域．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）根据三角函数的定义，得，．‎ 又是锐角，所以．由；‎ 因为是钝角，所以．‎ 所以． ‎ ‎（2）由题意可知，，． ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 从而，因此函数的值域为． ‎ ‎18．（本大题满分16分）‎ 已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线l与圆交于P、Q两点．‎ ‎（1）若，求直线l的方程；‎ ‎（2）若与的面积相等，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）依题意，直线的斜率存在，‎ 因为 直线过点，可设直线：．‎ 因为两点在圆上，所以 ，‎ 因为 ，所以 .‎ 所以 所以 到直线的距离等于．‎ 所以 ， 得. ‎ 所以 直线的方程为或． ‎ ‎（2）因为与的面积相等，所以， ‎ 设 ，，所以 ，．‎ 所以 即　　（*） ‎ 因为　，两点在圆上，所以 ‎ 把（*）代入得 所以 ‎ 故直线的斜率， 即． ‎ ‎19．（本大题满分16分）‎ 已知函数，，其中． ‎ ‎（1）设函数，若在区间（0,3）是单调函数，求k的取值范围；‎ ‎（2）设函数，是否存在实数k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）因 ‎ ‎， ∵在区间上单调 ‎ ‎ ‎ 恒成立 ‎ ‎ 恒成立 设 令有，记 ‎ 由函数的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，于是 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）当时有； ‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，……8分 下面讨论的情形，‎ 记 求得 A，B=‎ ‎（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有 ‎ ‎（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此 ‎ 综合（ⅰ）（ⅱ） ‎ 当时A=B，则，即使得成立，‎ 因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…13分 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，‎ 所以满足题意.‎ ‎20．（本大题满分16分）‎ 设集合W由满足下列两个条件的数列构成：‎ ‎① ；② 存在实数M，使（n为正整数）． ‎ ‎（1）在只有5项的有限数列，中，其中；‎ ‎；试判断数列，是否为集合W的元素；‎ ‎（2）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，，，证明：数列；并写出M的取值范围；‎ ‎（3）设数列，且对满足条件的M的最小值，都有．求证：数列单调递增．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）对于数列，取，显然不满足集合的条件，①‎ 故不是集合中的元素，‎ 对于数列，当时，‎ 不仅有，，，而且有，‎ 显然满足集合的条件①②，‎ 故是集合中的元素． ‎ ‎（2）∵是各项为正数的等比数列，是其前项和，‎ 设其公比为，‎ ‎∴，整理得．‎ ‎∴，∴， ‎ 对于，有，且，‎ 故，且 ‎（3）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数，‎ 使，易证于任意的，都有，证明如下：‎ 假设时，‎ 当时，由，．‎ 而 所以 所以对于任意的，都有．‎ 显然这项中有一定存在一个最大值，不妨记为；‎ 所以，从而与这题矛盾．‎ 所以假设不成立， 故命题得证．‎