辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题

辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题

沈阳铁路实验中学2018——2019学年度上学期12月月考试题 高二（文）数学 时间：150分钟 分数：150分 命题人：裴晓航、殷裕民 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．（本题5分）等比数列中，若，则（ ）‎ A． 6 B． C． 12 D． 18‎ ‎2．（本题5分）在△ABC中，角的对边分别为，已知，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．（本题5分）两灯塔与海洋观察站的距离都为，灯塔在的北偏东，在的南偏东，则两灯塔之间距离为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（本题5分）命题，命题，真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．（本题5分）若关于的不等式的解集为，则等于（ ）． A． B． C． D． ‎ ‎6．（本题5分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．（本题5分）正项等比数列中，．若，则的最小值等于（ ） A． 1 B． C． D． ‎ ‎8．（本题5分）已知实数满足约束条件，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．（本题5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 8‎ ‎10．（本题5分）下列四个结论：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②若是真命题，则可能是真命题；‎ ‎③“且”是“”的充要条件；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减.‎ ‎ 其中正确的是（ ）‎ A． ①④ B． ②③ C． ①③ D． ②④‎ ‎11．（本题5分）设 为抛物线： 的焦点， 为抛物线上的一点， 为原点，若ΔOFM为等腰三角形，则ΔOFM 的周长为（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎12．（本题5分）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（ ）‎ A． B． 1 C． 2 D． 4‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13．（本题5分）在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4，则sin B＝________．‎ ‎14．（本题5分）已知数列满足：，且，则_____________；‎ ‎15．（本题5分）若对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎16．（本题5分）双曲线： 的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本题10分）已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：‎ ‎．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（本题12分）在中，角， ， 的对边长分别为， ， ， 的面积为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且当时， 取得最大值，试求的值．‎ ‎19．（本题12分）已知数列的前项和为，满足 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎20．（本题12分）某企业今年初用72万元购买一套新设备用于生产，该设备第一年需各种费用12万元，从第二年起，每年所需费用均比上一年增加4万元，该设备每年的总收入为50万元，设生产x年的盈利总额为y万元.‎ 写出y与x的关系式；‎ ‎①经过几年生产，盈利总额达到最大值？最大值为多少？‎ ‎②经过几年生产，年平均盈利达到最大值？最大值为多少 ‎21．（本题12分）已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，求的面积．‎ ‎22．（本题12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是过原点的直线，是与n垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 ‎1．A ‎2．D ‎【解析】在△ABC中，由正弦定理可得 ‎，故选D.‎ 考点：正弦定理的应用.‎ ‎3．C ‎【解析】‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ 易得∠ACB=90°，AC=BC=a.‎ 在△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2a2，‎ 所以AB=（km）.‎ 故选C .‎ ‎4．C ‎【解析】分析：根据函数的有关性质，分别判断出命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可得结果.‎ 详解：因为命题p：恒成立，故命题p为真命题；‎ 对于命题q：当时，，从而得到，故命题q是假命题，根据复合命题真值表可知是真命题，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关判断命题真假的问题，在解题的过程中，注意首先判断命题p,q的真假，之后应用复合命题的真值表得到结果.‎ ‎5．B ‎【解析】若关于的不等式的解集是，‎ 则， 是一元二次方程的两个根且，‎ 由韦达定理可得，解得， ，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎6．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出a，b，即可求解椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的焦距为，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，，，故，故该椭圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查．‎ ‎7．C ‎【解析】由题设（设去），则，所以，，应选答案C。‎ 点睛：本题将等比数列与基本不等式有机地整合在一起旨在综合考查学生等比数列的通项公式及通项的性质和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。本题的特点是综合性强难度较大。‎ ‎8．D ‎【解析】‎ 作出不等式组所表示的可行域如图的阴影部分所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故的取值范围是，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎9．B ‎【解析】设等轴双曲线的方程为 抛物线,‎ 抛物线的准线方程为 设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，‎ 则,‎ 将，代入，得 等轴双曲线的方程为 的实轴长为 故选 ‎10．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①特称命题的否定是：换量词，否结论，不变条件；根据这一准则判正误即可；②若是真命题，则p和q均为真命题，可得到结果；③a,b的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件；即可得正误；④幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.‎ ‎【详解】‎ ‎①命题“”的否定是“”，特称命题的否定是：换量词，否结论，不变条件；故选项正确；‎ ‎②若是真命题，则p和q均为真命题，则一定是假命题；故选项不正确；‎ ‎③“且”则一定有“”，反之“”，a>0,b>0也可以满足 ‎，即a,b的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了命题的判断，其中涉及到特称命题，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定式特称命题，还有幂函数的应用，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.‎ ‎11．D ‎【解析】（1），即在上，解得，所以周长为；‎ ‎（2），设，所以，解得，所以，所以周长为；‎ 故选D。‎ 点睛：本题考查抛物线的性质。由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论。本题的关键就是求出的坐标，求出周长，所以只需设出的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长。‎ ‎12．C ‎【解析】‎ ‎ 分别是 的中点， ，且 轴，，由抛物线定义知， 为正三角形，则 ，正三角形边长为 ， ，又可得为正三角形，，故选C.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可得到三边的比例关系，再由余弦定理得到角B的余弦值，进而得到正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4，∴a∶b∶c＝6∶5∶4，‎ 不妨取a＝6，b＝5，c＝4，则cos B＝＝，B∈(0，π)．‎ 则sin B＝＝.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 ‎14． ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定数列为周期数列，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由可得：，结合有：‎ ‎，，，‎ 则数列是周期为3的数列，则.‎ ‎【点睛】‎ 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎15．‎ ‎【解析】对任意实数，不等式恒成立等价于对任意实数，不等式恒成立，即对任意实数， ‎ 令 ‎∴，即 ‎∴，即 ‎∴，即 故答案为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下将参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎16．‎ ‎【解析】由题意知， ，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.‎ 点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令f(x)＝x2－a，可将问题转化为“当时，”，故求出即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p与q一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令，‎ 根据题意，“命题p为真命题”等价于“当时，”．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎ (2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数满足．‎ 当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，‎ 解得或．‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，‎ ‎∴命题p与q一真一假 ‎①当命题p为真，命题q为假时，‎ 得，解得；‎ ‎②当命题p为假，命题q为真时，‎ 得，解得．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 根据命题的真假求参数的取值范围的方法 ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意， ，即，所以；（2）化简得，所以， ，由正弦定理得，所以．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ，即，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2） ．‎ 当（），即（）时， ．‎ 又因为，所以， ，‎ 故， ， ，‎ 所以．‎ ‎19．(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用当n>1时，即可得出．注意验证n=1时的情况. ‎ ‎（2）由（1）知bn=（2n-1）an，得 ．利用错位相减法即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当n=1时， ‎ ‎ 当n>1时，； ‎ ‎ 两式相减得：，‎ ‎ 由题意知，所以 ‎ ‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列，所以 ‎ ‎（2）由（1）得： ‎ ‎ ------① ‎ ‎ ------② ‎ ‎ ①-②得：‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．（1）；‎ ‎（2）①经过10年生产，盈利总额达到最大值，最大值为128万元.‎ ‎②经过6年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为16万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列求和公式得x年所需总费用，再利用收入减去成本得盈利总额，即得结果，（2）①根据二次函数性质求最值，②根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）x年所需总费用为，‎ 所以盈利总额；‎ ‎（2）①因为对称轴为，所以当时盈利总额达到最大值，为128万元；‎ ‎②因为，当且仅当时取等号,所以经过6年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为16万元.‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎21．(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为，建立方程，联立，即可求椭圆的方程：（2）设,由得 , 根据韦达定理，弦长公式点到直线距离公式以及三角形面积公式即可求得的面积.‎ 试题解析:由得 所以 所以 又因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）解:设 由得 所以 ‎ ‎ ‎ 到的距离 ‎ 所以 ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎22．(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由构成等差数列可得， ，．又，，从而可得结果；（Ⅱ）先证明当与轴垂直时，不合题意，当与x轴不垂直时，设的方程为，由与垂直相交于 点且，得，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得，矛盾，故此时的直线也不存在．‎ ‎.试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为．‎ ‎ 构成等差数列，‎ ‎ ，．‎ 又，．‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设两点的坐标分别为,，‎ 假设存在直线使成立，‎ ‎(ⅰ)当与轴垂直时，满足的直线的方程为或 当时，的坐标分别为，,．‎ ‎∴‎ 当时，同理可得，‎ 即此时的直线不存在．‎ ‎(ⅱ)当与轴不垂直时，设的方程为，‎ 由与垂直相交于点且，得.‎ 因为，，‎ ‎,.‎ 将代入椭圆方程，得 由根与系数的关系得：　，‎ 即，矛盾，故此时的直线也不存在．‎ 综上可知，使成立的直线不存在．‎