数学理卷·2018届北京市海淀区北方交大附中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

数学理卷·2018届北京市海淀区北方交大附中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

北方交大附中2016-2017学年度第一学期期中练习 高二数学（理）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1. 已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则（ ）．‎ A. 、 B. 、 C. 、 D. 、‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 故选．‎ ‎2. 已知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为，‎ 球是正方体的内切球，，‎ 表面积．‎ 故选．‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎3. 若为平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ ‎∵‎ ‎．‎ ‎，‎ 在平行四边形中，‎ ‎，‎ ‎∴①，‎ 又∵‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴②，‎ 联立①②，‎ 解出：，，．‎ 故选．‎ ‎4. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若、、分别是三棱锥在、、坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）．‎ A. B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：结合其空间立体图形易知，，，所以且，故选D．‎ 考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式．‎ ‎5. 如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：‎ 连接交于点，连接；由，可得为正方形，即；由长方体的性质可知，从而有，且，所以，则为与平面所成角；‎ 在中，，，， 则.故选D．‎ 考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角.‎ ‎6. 过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，以为坐标原点，‎ 以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ ‎∵平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴所求锐二面角为．‎ 故选．‎ ‎7. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意，由于 故选D.‎ 考点：向量的共面 点评：解决的关键是理解向量的共面就是其中任何一个向量可以表示为另外两个向量的线性关系，属于基础题。‎ ‎8. 如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱、交于，，设，，给出以下四个命题：‎ ‎①平面平面；‎ ‎②当且仅当时，四边形的面积最小；‎ ‎③四边形周长，是单调函数；‎ ‎④四棱锥的体积为常函数；‎ 以上命题中假命题的序号为（ ）．‎ A. ①④ B. ② C. ③ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】①连接，，‎ 在正方体中，‎ 平面，‎ ‎∴平面平面，①正确；‎ ‎②连接，‎ ‎∵平面，‎ 四边形的对角线是固定的，‎ 要使面积最小，‎ 只需的长度最小即可，‎ 此时为棱中点，，‎ 长度最小，对应四边形的面积最小，②正确；‎ ‎③∵，‎ ‎∴四边形是菱形，‎ 当时，长度由大变小，‎ 当时，长度由小变大，‎ ‎∴函数不是单调函数，③错误；‎ ‎④连接，，，‎ 四棱锥分割成两个小三棱锥，‎ 以为底，分别以、为顶点，‎ ‎∵面积是个常数，‎ ‎、到平面的距离是个常数，‎ ‎∴四棱锥的体积为常函数，④正确．‎ 点睛：判断面面垂直，一般先寻求线面垂直，通过线面垂直去说明面面垂直，再通过新的线线垂直产生新的线面垂直.而说明一个命题为假命题，一可以举一反例，二也可使用反证法思想推出矛盾；在正方体内研究几何体的体积可以用割补的方法来求，即正难则反.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎9. 已知一条直线上有两个点，到平面的距离分别为和，则中点到平面的距离__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】若点，在平面同侧，‎ 则中点到平面距离，‎ ‎，‎ 若点，在平面异侧，‎ ‎．‎ 答案为：或 ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的高为，‎ 母线长，‎ 底面积，‎ 侧面积，‎ ‎，‎ ‎∴解得．‎ ‎11. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该几何体是圆锥的一半，‎ ‎．‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎12. 如图所示，三棱锥中，，，，点在棱上，且，为中点，则__________．（用，，表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎13. ，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（）如果，，，那么．‎ ‎（）如果，，那么．‎ ‎（）如果，．那么．‎ ‎（）如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．‎ 其中正确的命题有__________．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】（）（）（）‎ ‎【解析】试题分析：①如果，不能得出，故错误；②如果，则存在直线，使，由，可得，那么．故正确；③如果，那么与无公共点，则．故正确④如果 ‎，那么与所成的角和与所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④．‎ 考点：空间直线与平面的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题涉及到多个命题放入判断（1）面面垂直的条件是线面垂直，而此题中不能推出此位置关系；（2）（4）的判断都可以由等角定理得出：一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．而所成角的概念为较小角，所以平行角相等，，则存在直线，使，由，可得，那么．‎ ‎14. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，以为原点，‎ ‎，，分别为，，轴 建立空间直角坐标系 ‎，，，，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎ ，‎ 当时，，‎ 当时，（不包含端点故不能取），，‎ ‎∴长度取值为．‎ 二、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15. 如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）求证：平面．‎ ‎（III）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）证明和即可；‎ ‎（II）由中位线定理可得，进而得线面平行；‎ ‎（III）利用计算即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：‎ ‎∵在正中，是边中点，∴，‎ ‎∵在正三棱柱中，平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）连接、，设点，连接，‎ ‎∵在中，、分别是、中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎（III）．‎ ‎16. 如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使．‎ ‎（I）证明：平面平面．‎ ‎（II）设为的中点，求直线与直线夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）由，，得平面，进而得证；‎ ‎（II）以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，用向量求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：∵，，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系 ‎，，，，，.‎ ‎．‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎17. 如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，分别为，的中点．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎（III）能否在上找一点，使得平面?若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）；（III）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先建立空间直角坐标系，利用法向量证明OD//平面ABC，说明和平面ABC的法向量垂直即可；（2）设直线CD与平面ODM所成角为θ，求出平面ODM法向量，则；（3）设EM上一点N满足，平面ABDE法向量，不存在使∴ 不存在满足题意的点N.‎ 试题解析：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系 ‎，，，，，‎ ‎（1）平面ABC的法向量，，‎ ‎∴OD//平面ABC ‎（2）设平面ODM法向量为，直线CD与平面ODM所成角为θ ‎，，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（3）设EM上一点N满足，‎ 平面ABDE法向量，‎ 不存在使∴不存在满足题意的点N.‎ ‎(传统方法参照给分)‎ 考点：空间向量的运算、空间向量解决立体几何中的证明和计算.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．‎ ‎（I）求平面与平面所成二面角的余弦值．‎ ‎（II）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．‎ ‎（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．‎ 因为．‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，令，解得．‎ 所以是平面的一个法向量，从而，‎ 所以平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎（2） 因为，设，‎ 又，则，‎ 又，‎ 从而，‎ 设，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，的最大值为．‎ 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．‎ 又因为，所以．‎ 考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.‎ ‎【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.‎