【推荐】专题09+解密含参函数的单调性-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修1-1）x
一、选择题
1．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
]∴。
∴。选C。
点睛：函数的单调性与导函数的关系
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．
2．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B
3．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
4．【河北省鸡泽县第一中学2017学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-∞，3）单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. （-6，+∞） B. [-6，+∞） C. （-∞，-6） D. （-∞，-6]
【答案】D
【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是 ，函数在 上是减函数，故要求 故
故结果为D.
二、填空题
5．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵f′(x)＝4x－＝，x>0，
∴当0
时，f′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得
∴1≤k<.
答案：
6．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
因此Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤，所以实数a的取值范围是．
答案：
7．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】若函数在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】[－2，＋∞)
8．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】在上恒成立，所以最大值
令，则，当时
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
三、解答题
9．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设为实数，函数
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，
【答案】（1）见解析；（2）见解析
试题解析：（1）解：由知， ．
令，得.于是，当变化时， 和的变化情况如下表：
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是． 在处取得极小值，极小值为．
（２）证明：设，于是，由（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增，于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即故
10．已知函数，且．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.
（Ⅱ）因为，所以 .
当时，定义域为 .
且
故的单调递减区间为 ……5分
当时，定义域为. 当变化时， ， ：
x
—
0
+
0
—
单调减
极小值
单调增
极大值
单调减
故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
综上所述，
当时， 的单调递减区间为；
当时，故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
（Ⅲ）
11．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
试题解析：（1）定义域为，
若， ， 在上单调递增
若， ，
所以，当时， ，当时，
综上：若， 在上单调递增；
若， 在上单调递增，在上单调递减
点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
12．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知函数.
（1）证明：函数在区间上是减函数；
（2）当时，证明：函数只有一个零点.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。（2）当时， ，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。
试题解析：（1）显然函数的定义域为.
∴ .
∵， ，∴， ，∴，
所以函数在上是减函数.
【点睛】
当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减。
求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。
13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可
②当时， ，得，
在区间上， ，
在区间上， ，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（Ⅲ）如果在上恒成立，
即在恒成立，
令， ，
，
令，解得： ，
令，解得： ，
故在递增，在递减，
故，
故．
点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.
14．已知，
（1）写出的定义域. （2）求的单调区间.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据定义域求法即得（2）求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间，但要注意分a大于零和小于零的情况
②当时，在上；在上
的递增区间为；递减区间为
15．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设， .
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围
（2）由（1）知， .
①当a时， 单调递增.
所以当时， ， 单调递减.当时， ， 单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意.
②当时， ，由（1）知在内单调递增，
可得当时， ， 时， ，
所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.
16．【四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试】函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：.
【答案】（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 证明见解析．
【解析】试题分析：
（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；
（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.
试题解析：
（Ⅰ）．
当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．
即在上单调递减；在上单调递增；
综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
17．【广东省兴宁市沐彬中学2018届高三上中段】若，
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求定义域，当时， 求出 ，得到切线斜率，求出切点坐标，然后求解曲线 在点 处的切线方程．
（1）．对分类讨论：当时，当时利用导数研究函数的单调性即可得出．
试题解析：
定义域为
（1）， ，
切线方程为，即
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、单调性，其中分类讨论思想方法、推理能力与计算能力是考查的重点
18．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】试题分析：若f(x)在(0,1]上单调递增，则，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立，令g(x)＝－，只需a≥g(x)max即可.
试题解析：
由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
令g(x)＝－，而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋.
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．
∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！
19．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.讨论f(x)的单调性．
【答案】见解析
【解析】试题分析：函数求导，根据导数大于0得增区间，导数小于0得减区间.
f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(－1＋，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)是增函数．
20．已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：本题可以先用数量积的运算计算出，在对的导数判断函数的单调性转化为在区间上恒成立，利用分离参数的思想即在区间上是恒成求出的最大值即可.
点睛：导数是判断函数的单调性或者解决单调性的逆向问题很好的工具，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
21．【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】已知，函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：
【答案】（1）在 是增函数， 是减函数；（2）；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先求导，再分类讨论，分别令 可得增区间，令可得得减区间；(2)讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，以及结合函数的极值及简图即可求出的范围；（3）由，只要证明： 就可以得出结论，构造函数： ，利用导数研究函数的单调性即可证明.
试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．
令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．
（3）由（2）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，
函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，
于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，
由（1）可知，即．
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②
对求导；③令，在定义域内解不等式得的范围就是递增区间；令，在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.
22．【河北省定州中学2017-2018学年高二（承智班）上学期第一次月考】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
【答案】(1) 当或时， 在上单调递增，当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2) .
【解析】试题分析：（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；（2）对任意，有等价于 ，分别利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值与的最小值，解不等式即可求得实数的取值范围.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， ， .
