2018-2019学年福建省仙游第一中学高二上学期第一次阶段考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年福建省仙游第一中学高二上学期第一次阶段考试数学（理）试题 Word版

启用前保密 仙游一中2018-2019学年度第一学期第一次阶段考试 高二数学（理科）试卷（必修4+必修5）2018年10月 命题人：高二理科数学备课组 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎★ 祝考试顺利 ★‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）‎ ‎1. 设,且,则( ▲ ) A． B． C． D． ‎ ‎2．设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有( ▲ ) ‎ A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b ‎ ‎3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则( ▲ ) ‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎4．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( ▲ )‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝3－2an D．Sn＝4－3an ‎ ‎5、已知M是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( ▲ ) A．2 B．3 C．3.5 ‎ D．4‎ ‎6．在数列中，，则＝( ▲ ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列中，，且存在两项，使得，则的最小值为 ( ▲ ) A． B． C． D． ‎ ‎8．设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差数列，则sin 2B＝( ▲ ) ‎ ‎ A．1 B．－ C． ± D． ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点M在线段AB上，且 ‎．若，则( ▲ )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，‎ ‎ 则；④若，则；⑤若，则；⑥若，‎ ‎ 则．其中正确的命题有( ▲ ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎11．已知a, b∈R，且a是与的等差中项，则的最大值为( ▲ )‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（非A班作答）数列满足，则数列的前200项和为( ▲ )‎ A. 51000 B. 20200 C. 98000 D. 98500‎ ‎12.（A班作答）在平面内，定点A.B.C.O满足,，动点满足,，则的最小值是( ▲ ) A.- B.- C.- D.-‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为___▲_____．‎ ‎14．如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为___▲_____．‎ ‎15.（非A班作答）已知,且是方程的两个根，则的值为_▲_‎ ‎15.（A班作答） 某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则___▲‎ ‎16.对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，，且．记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)=___▲_____．‎ 三、 解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎19（非A班作答）（本小题满分12分）‎ 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.‎ ‎19.（A班作答）（本小题满分12分）‎ 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 原料 肥料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，‎ 是扇形的内接矩形，其中在线段上，在线段上，记为,‎ ‎（1）若的周长为，求的值；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时值 ‎ ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知常数，数列的前n项和为Sn，，．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得 ‎？若存在，试求出p、q的一组值(不论有多少组，只要求出一组即可)；若不 存在，请说明理由．‎ 附加题（竞赛生作答，两小题共20分，计入总分）‎ ‎1：（8分）设非负实数满足则的最大值为 ．‎ ‎2：（12分）设数列满足：，且当时，‎ ‎ （Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论；‎ ‎ （Ⅱ）若，其中，证明： （注：）‎ 仙游一中2018-2019学年度第一学期第一次阶段考试 高二数学（理科）试卷（必修4+必修5）‎ 命题人：高二理科数学备课组 考试时间：120分钟 分 数：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）‎ ‎1. 设,且,则（ A ） A． B． C． D． ‎ ‎2．设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　A )‎ A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b ‎ ‎3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ B ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎4．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( C )‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝3－2an D．Sn＝4－3an ‎5、已知M是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(B) ‎ A．2 B．3 C．3.5 D．4‎ ‎【解析】由已知可得，∵x＋y＋z＝1，∴＋＝＋＝1＋＋≥3.选B.‎ ‎6．在数列中，，则＝（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列中，，且存在两项，使得，则的最小值为 （ C ） A． B． C． D． ‎ ‎8．设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差数列，则sin 2B＝(D)‎ ‎ A．1 B．－ C． ± D． ‎【解析】由条件，得tan C＝tan B，tan A＝tan B，所以△ABC为锐角三角形，又tan A＝－tan(C＋B)＝－＝－＝tan B，得tan B＝2，所以sin 2B＝2sin Bcos B＝＝＝，故选D.‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点M在线段AB上，且 ‎．若，则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，‎ ‎ 则；④若，则；⑤若，则；⑥若，‎ ‎ 则．其中正确的命题有（ D ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎11．已知a, b∈R，且a是与的等差中项，则的最大值为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（非A班作答）数列满足，则数列的前200项和为（ B ）‎ A. 51000 B. 20200 C. 98000 D. 98500‎ ‎【解析】由，得：‎ a1=a1，a2=a1+2，a3=−a2+4=−a1+2，a4=a3+6=−a1+8，∴a1+a2+a3+a4=12；‎ 同理求得a5+a6+a7+a8=28；a9+a10+a11+a12=44；‎ ‎∵，‎ ‎∴数列{an}的前200项满足S4,S8−S4,S12−S8，…是以12为首项，16为公差的等差数列，‎ 则数列{an}的前200项和为S=50×12+50×49×162=20200.‎ 故选：B.‎ ‎12.（A班作答）在平面内，定点A.B.C.O满足,，动点满足,，则的最小值是（ B ）‎ ‎ A.- B.- C.- D.-‎ 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为____5____．‎ ‎【解析】画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知直线l在C处z取得最大值，由解得∴2×3－1－m＝0，m＝5.当直线l平移到B(2，－1)处时z取得最小值，zmin＝3×2－1＝5.‎ 答案：5‎ ‎14．如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为____．‎ ‎【解析】因为＝，则＝4，所以＝m＋.‎ 因为B，P，D三点共线，则m＋＝1，所以m＝. 答案：m＝ ‎15.（非A班作答）已知,且是方程的两个根，则的值为 ．‎ ‎16.（A班作答） 某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则 ．‎ 15. 对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，，且．记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)=2 017×22 018＋1 ‎ ‎【解析】对于集合Xn，满足I(A)＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I(A)＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}；满足I(A)＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；‎ 满足I(A)＝n的集合A有2n－1个，所以S(n)＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1.‎ 由错位相减法，得S(n)＝(n－1)2n＋1，所以S(2 018)＝2 017×22 018＋1 答案：2 017×22 018＋1‎ 三、 解答题：（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ ‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ 解：（1）由正弦定理得，‎ 由于，所以，所以，‎ 则.‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由可得，‎ 所以.‎ 由余弦定理得，‎ 所以.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ 解：（1）若，原不等式可化为，所以.‎ 若，解得；‎ 若，解得.‎ 综上，当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为.‎ ‎（2）由得，‎ 因为，所以，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立.‎ 令，只需，‎ 又因为，‎ 所以，当且仅当时等式成立.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎19（非A班作答）（本小题满分12分）‎ 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 由728≠2×26得，S6≠2S3，∴q≠1.‎ 由已知得解得 ‎∴an＝2×3n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)可得Sn＝＝3n－1.‎ ‎∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1.‎ ‎∴S－SnSn＋2＝4×3n.‎ ‎19.（A班作答）（本小题满分12分）‎ 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.‎ 解：(1)证明：∵an＋1＝，‎ ‎∴＝，化简得＝2＋，‎ 即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝＝n2.‎ ＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋－＝1－＝.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 原料 肥料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在 y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组得点M的坐标为(20,24)，‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，‎ 是扇形的内接矩形，其中在线段上，在线段上，记为,‎ ‎（1）若的周长为，求的值；‎ ‎（2）求的最大值，并求此时值 ‎ ‎ ‎21. （1），‎ 由，得，‎ 平方得，即，得（舍）或，则 ‎.（2）由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 则,‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当，即时， 有最大值 12分.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知常数，数列的前n项和为Sn，，．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得 ‎？若存在，试求出p、q的一组值(不论有多少组，只要求出一组即可)；若不 存在，请说明理由．‎ ‎22.解：(1)∵‎ ‎ ∴nan=Sn+an(n－1)‎ ‎ ∴(n－1)an－1=Sn－1+a(n－1)(n－2)‎ 相减得nan－(n－1)an－1=an+2a(n－1)‎ 即(n－1)an－(n－1)an－1=2a(n－1)‎ 其中n≥2‎ ‎∴an－an－1=2a为定值 ‎∴是以2为首项2a为公差的等差数列 ‎∴an=2+(n－1)2a=2a(n－1)+2…………………………………………………………………4分 方法二：∵‎ ‎ ∴Sn－Sn－1=+a(n－1)‎ ‎ ∴ －Sn－1=a(n－1)‎ 其中n≥2‎ ‎∴－=a为定值 ‎∴{}是以2为首项a为公差的等差数列 ‎∴=2+(n－1)a ‎∴an=+a(n－1)=2a(n－1)+2………………………………………………………………4分 ‎(2)由是单调递增数列 得bn＜bn+1‎ 即3n+(－1)n[2a(n－1)+2]＜3n+1+(－1)n+1(2an+2)‎ 即(－1)na＜……………………………………………………………………5分 ‎1°若为正奇数 则－a＜在n为正奇数时恒成立 设f(n)=‎ 则f(n)－f(n+2)=-=－＜0‎ ‎∴f(1)＜f(3)＜f(5)＜…‎ ‎∴－a＜f(1)=5即a＞－5………………………………………………………………………6分 方法二：则f(n)－f(n+1)=－=－‎ 它在n=1时为正，在n≥2为负 ‎∴f(1)＞f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜…‎ ‎∴－a＜min{f(1)，f(3)}=min{5，}=5即a＞－5………………………………………6分 ‎2°若n为正偶数 则a＜在n为正偶数时恒成立 设g(n)=‎ 则g(n+2)-g(n)= -=＞0‎ ‎∴g(2)＜g(4)＜g(6)＜…‎ ‎∴‎ 方法二：则g(n+1)－g(n)= -=＞0‎ ‎∴g(1)＜g(2)＜g(3)＜g(4)＜…‎ ‎∴a＜g(2)=‎ 综合1°2°及a≠0得－5＜a＜且a≠0……………………………………………………8分 ‎(3)由(1)得 ‎∴可化为 方法一：即p===…………………………10分 令得 ‎(或令得，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组)‎ ‎∴存在满足要求的p，q，且有一组值为………………………………12分 方法二：即pq－kp－kq=2019k即(p－k)(q－k)=k(k+2019)=1×(k2+2019k)=k×(k+2019)‎ ‎…………………………………………………………………………………………………10分 令即 ‎(或令即，或交换前两组p，q的值，共能确定四组)‎ ‎∴存在满足要求的p，q，且有一组值为………………………………12分 附加题（竞赛生作答，两小题共20分，计入总分）‎ ‎1：（8分）设非负实数满足则的最大值为 ．‎ ‎【解析】‎ ‎2：（12分）设数列满足：，且当时，‎ ‎ （Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论；‎ ‎ （Ⅱ）若，其中，证明：‎ ‎（注：）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于，则，‎ ‎∴，∴‎ ‎ （Ⅱ）由于，由（Ⅰ）>0，则，，‎ 而，则，∴‎ ‎ 又 ‎ ∴，‎ ‎∴，而，且，故 ‎ ∴，因此，从而 备用好题（学生课外思考题）‎